Geometri & Måling UVM s. 85 Grundformel Areal af parallelogram A=g\cdot h $A$ er arealet, $g$ grundlinjen og $h$ den tilhørende vinkelrette højde. Eksempel & Beregning Et parallelogram har grundlinjen $9\text{ cm}$ og højden $4\text{ cm}$:$$A=9\cdot4=36\text{ cm}^2$$ Typiske faldgruber & misforståelser Den skrå side må ikke bruges som højde. Højden skal være vinkelret på grundlinjen. 4.-6. kl. 7.-9. kl. 10. kl. Lærerudd. Gym C Gym B Gym A Læs mere
Geometri & Måling UVM s. 85 Grundformel Areal af trapez A=\frac{(a+b)h}{2} $a$ og $b$ er trapezets parallelle sider, og $h$ er den vinkelrette afstand mellem dem. Eksempel & Beregning Et trapez har $a=8\text{ cm}$, $b=12\text{ cm}$ og $h=5\text{ cm}$:$$A=\frac{(8+12)\cdot5}{2}=50\text{ cm}^2$$ Typiske faldgruber & misforståelser $a$ og $b$ skal være de parallelle sider. $h$ skal måles vinkelret på dem. 4.-6. kl. 7.-9. kl. 10. kl. Lærerudd. Gym C Gym B Gym A Læs mere
Geometri & Måling UVM (17) Grundformel Areal af trekant T = \frac{1}{2} \cdot h \cdot g Arealet $T$ af en trekant er halvdelen af højden gange grundlinjen ($T = \frac{1}{2} \cdot h \cdot g$). Formlen gælder for alle typer trekanter. Eksempel & Beregning En trekant har grundlinje $g = 8\text{ cm}$ og højde $h = 5\text{ cm}$:$$T = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 8 = 20\text{ cm}^2$$ Sømbræt (Geoboard) Trekantsberegner 4.-6. kl. 7.-9. kl. 10. kl. Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere
Geometri & Måling UVM s. 85 Grundformel Cirklens areal A = \pi r^2 En cirkels areal $A$ findes ud fra radius $r$. Tallet $\pi$ er cirkelkonstanten. Eksempel & Beregning En cirkel har radius $4\text{ cm}$:$$A = \pi \cdot 4^2 = 16\pi \approx 50{,}27\text{ cm}^2$$Arealet er ca. $50{,}27\text{ cm}^2$. Typiske faldgruber & misforståelser Radius og diameter må ikke forveksles. Areal angives i kvadratenheder. Træn denne formel (2 opgaver) 4.-6. kl. 7.-9. kl. 10. kl. Gym C Gym B Lærerudd. Læs mere
Geometri & Måling UVM s. 85 Grundformel Cirklens omkreds O = 2\pi r = \pi d En cirkels omkreds $O$ findes ud fra radius $r$ eller diameter $d$, hvor $d=2r$. Eksempel & Beregning En cirkel har radius $4\text{ cm}$:$$O = 2 \cdot \pi \cdot 4 = 8\pi \approx 25{,}13\text{ cm}$$Omkredsen er ca. $25{,}13\text{ cm}$. Typiske faldgruber & misforståelser Radius og diameter må ikke forveksles. Omkreds angives i længdeenheder. Formelomskrivninger & Isolering d d=2r Diameter ud fra radius Træn denne formel (2 opgaver) 4.-6. kl. 7.-9. kl. 10. kl. Gym C Gym B Lærerudd. Læs mere
Geometri & Måling Grundformel Enhedsomregning 1\,\mathrm m=100\,\mathrm{cm},\quad1\,\mathrm m^2=10\,000\,\mathrm{cm}^2,\quad1\,\mathrm L=1\,\mathrm{dm}^3 Ved enhedsomregning ændres tallet efter forholdet mellem enhederne. For areal kvadreres længdefaktoren, og for rumfang kuberes den. Eksempel & Beregning Omregn $2{,}5\text{ m}^2$ til $\text{cm}^2$:$$2{,}5\cdot100^2=2{,}5\cdot10\,000=25\,000\text{ cm}^2$$ Typiske faldgruber & misforståelser Arealer omregnes ikke med samme faktor som længder. Husk kvadratfaktor for areal og kubikfaktor for rumfang. 4.-6. kl. 7.-9. kl. 10. kl. Lærerudd. Læs mere
Geometri & Måling UVM (8-9) Grundformel Ensvinklede trekanter & Skalafaktor k = \frac{a_1}{a} = \frac{b_1}{b} = \frac{c_1}{c} \quad , \quad a_1 = k a, \quad b_1 = k b, \quad c_1 = k c To trekanter er ensvinklede, hvis de har parvis ens vinkler. Forholdet $k$ mellem ensliggende siders længder kaldes forstørrelsesfaktoren eller skalafaktoren. Arealerne af ensvinklede figurer forholder sig som $k^2$. Eksempel & Beregning I en trekant er $a = 4$ og $b = 6$. I en ensvinklet forstørret trekant er $a_1 = 10$:$$k = \frac{10}{4} = 2{,}5 \implies b_1 = 2{,}5 \cdot 6 = 15$$ Typiske faldgruber & misforståelser Husk: Ensliggende sider ligger altid modsat de ens vinkler. Pas på ikke at forveksle hvilke sider der svarer til hinanden. Formelomskrivninger & Isolering k k = \frac{a_1}{a} Skalafaktor Areal A_1=k^2A Gælder ligedannede figurer. Rumfang V_1=k^3V Gælder ligedannede rumlige figurer og længdeskala $k>0$. Trekantsberegner 7.-9. kl. 10. kl. Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere
Geometri & Måling Grundformel Hypergeometrisk fordeling P(X = k) = \frac{\binom{s}{k} \cdot \binom{N-s}{n-k}}{\binom{N}{n}} \quad , \quad \mu = n \cdot \frac{s}{N} \quad , \quad \sigma = \sqrt{n \cdot \frac{s}{N} \cdot \left(1-\frac{s}{N}\right) \cdot \frac{N-n}{N-1}} Beskriver sandsynligheden for netop $k$ succeser, når der udtages $n$ elementer uden tilbagelægning fra en population på $N$ elementer, hvoraf $s$ er succeser. Tælleren tæller de gunstige udvalg, og nævneren alle mulige udvalg af $n$ elementer. $\mu$ er middelværdien og $\sigma$ spredningen, hvor faktoren $\frac{N-n}{N-1}$ kaldes endelighedskorrektionen. Eksempel & Beregning I en kasse med $20$ pærer er $5$ defekte. Der udtages $4$ pærer uden tilbagelægning. Hvad er sandsynligheden for netop $1$ defekt ($N=20$, $s=5$, $n=4$, $k=1$)?$$P(X = 1) = \frac{\binom{5}{1} \cdot \binom{15}{3}}{\binom{20}{4}} = \frac{5 \cdot 455}{4845} = \frac{2275}{4845} \approx 0{,}4696 = 46{,}96\%$$Middelværdien er $\mu = 4 \cdot \frac{5}{20} = 1$ defekt pære. Typiske faldgruber & misforståelser Uden tilbagelægning er udtrækningerne ikke uafhængige. Ved tilbagelægning skal binomialfordelingen bruges i stedet. Både $k \le s$ og $n-k \le N-s$ skal være opfyldt — ellers er sandsynligheden $0$. Spredningen har endelighedskorrektionen $\frac{N-n}{N-1}$, som ikke findes i binomialfordelingen. Formelomskrivninger & Isolering P(X=d) P(X = d) = \frac{K(D, d) \cdot K(N-D,n-d)}{K(N,n)} Variant af hypergeometrisk fordeling Træn denne formel (2 opgaver) Gym A Lærerudd. Læs mere
Geometri & Måling Grundformel Målestoksforhold 1:N\Rightarrow \text{virkelighed}=\text{tegning}\cdot N Ved målestok $1:N$ svarer én længdeenhed på tegningen til $N$ af samme længdeenhed i virkeligheden. Eksempel & Beregning På et kort i målestok $1:50\,000$ måles $4\text{ cm}$:$$4\cdot50\,000=200\,000\text{ cm}=2\text{ km}$$ Typiske faldgruber & misforståelser Tegning og virkelighed skal først udtrykkes i samme enhed. Retningen på omregningen afgør, om der skal ganges eller divideres. 4.-6. kl. 7.-9. kl. 10. kl. Lærerudd. Læs mere
Geometri & Måling UVM s. 85 Grundformel Omkreds af rektangel O=2l+2b=2(l+b) $O$ er rektanglets omkreds, $l$ længden og $b$ bredden. Eksempel & Beregning Et rektangel har længden $8\text{ cm}$ og bredden $5\text{ cm}$:$$O=2\cdot8+2\cdot5=16+10=26\text{ cm}$$ Typiske faldgruber & misforståelser Alle fire sider skal medregnes. Omkreds angives i længdeenheder, ikke kvadratenheder. Formelomskrivninger & Isolering Kvadrat O=4s Et kvadrat har fire lige lange sider. 4.-6. kl. 7.-9. kl. 10. kl. Lærerudd. Gym C Gym B Gym A Læs mere
Geometri & Måling UVM (13) Grundformel Pythagoras' læresætning a^2 + b^2 = c^2 I enhver retvinklet trekant er summen af kateternes kvadrater lig med kvadratet på hypotenusen. Hvor $a$ og $b$ er kateternes længder, og $c$ er hypotenusens længde. Eksempel & Beregning I en retvinklet trekant er kateterne $a = 3$ og $b = 4$. Hypotenusen findes ved:$$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$ Typiske faldgruber & misforståelser Husk: Pythagoras gælder kun i retvinklede trekanter ($C = 90^\circ$). Pas på ikke at forveksle kateter og hypotenuse: hypotenusen $c$ er altid den længste side modsat den rette vinkel. Skal du finde en katete, trækkes der fra: $a = \sqrt{c^2 - b^2}$. Formelomskrivninger & Isolering c c = \sqrt{a^2 + b^2} Hypotenuse a a = \sqrt{c^2 - b^2} Katete a b b = \sqrt{c^2 - a^2} Katete b CAS-kommandoer & Software GeoGebra Løs(c=sqrt(3^(2)+4^(2))) TI-Nspire Solve(c=sqrt(3^(2)+4^(2)), c) Trekantsberegner 7.-9. kl. 10. kl. Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere
Geometri & Måling UVM (23) Grundformel Sinus-arealformlen (Trigonometrisk areal) T=\frac12ab\sin(C) Arealet $T$ af en vilkårlig trekant kan beregnes uden at kende højden, når man kender to sider og den mellemliggende vinkel. Eksempel & Beregning I en trekant er $a = 6\text{ cm}$, $b = 9\text{ cm}$ og $C = 40^\circ$:$$T = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 9 \cdot \sin(40^\circ) = 27 \cdot 0{,}6428 \approx 17{,}36\text{ cm}^2$$ Typiske faldgruber & misforståelser Brug vinklen mellem de to sider. Ved vinkelberegning kræves $0<2T/(ab)\le1$; to forskellige vinkler kan give samme areal. Formelomskrivninger & Isolering Andre sidepar T=\frac12ac\sin(B)=\frac12bc\sin(A) Vinklen skal ligge mellem de to kendte sider. sin(C) \sin(C)=\frac{2T}{ab} Isolering af sinusværdien. C C_1=\arcsin\!\left(\frac{2T}{ab}\right),\quad C_2=180^\circ-C_1 Areal og to sider kan give en spids eller stump vinkel. Ved $2T/(ab)=1$ er begge forslag 90°. Trekantsberegner Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere
Geometri & Måling UVM (15) Grundformel Sinus i en retvinklet trekant \sin(A)=\frac ac $a$ er kateten modsat den spidse vinkel $A$, og $c$ er hypotenusen. Sinus er forholdet mellem modstående katete og hypotenuse. Eksempel & Beregning I en retvinklet trekant er modstående katete til vinkel $A$ lig med $3$ og hypotenusen er $5$:$$\sin(A) = \frac{3}{5} = 0{,}60 \implies A = \arcsin(0{,}60) \approx 36{,}87^\circ$$ Typiske faldgruber & misforståelser Trekanten skal være retvinklet. Vælg den modstående katete i forhold til den valgte vinkel. Brug grader, når vinklerne er angivet i grader. Formelomskrivninger & Isolering a a=c\sin(A) Modstående katete. c c=\frac a{\sin(A)} Hypotenuse. A A=\arcsin(a/c) Den spidse vinkel, når $0<a<c$. 7.-9. kl. 10. kl. Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere
Geometri & Måling UVM (20-21) Grundformel Cosinusrelationen c^2=a^2+b^2-2ab\cos(C) Cosinusrelationen forbinder tre sider og en vinkel i en vilkårlig trekant. $c$ ligger over for vinklen $C$. Eksempel & Beregning I en trekant er $a=5\text{ cm}$, $b=7\text{ cm}$ og $C=60^\circ$:$$c=\sqrt{5^2+7^2-2\cdot5\cdot7\cos(60^\circ)}=\sqrt{39}\approx6{,}24\text{ cm}$$ Typiske faldgruber & misforståelser Siden $c$ skal ligge over for vinklen $C$. Minusleddet $2ab\cos(C)$ må ikke glemmes. Formelomskrivninger & Isolering c c=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos(C)} Find den modstående side. C C=\arccos\!\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right) Find vinklen ud fra tre sider, som opfylder trekantsuligheden. Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere
Geometri & Måling UVM (22) Grundformel Sinusrelationen \frac{a}{\sin(A)}=\frac{b}{\sin(B)}=\frac{c}{\sin(C)} Sinusrelationen forbinder en trekants sider $a,b,c$ med de modstående vinkler $A,B,C$. Eksempel & Beregning I en trekant er $a=8\text{ cm}$, $A=40^\circ$ og $B=55^\circ$:$$b=\frac{8\sin(55^\circ)}{\sin(40^\circ)}\approx 10{,}19\text{ cm}$$ Typiske faldgruber & misforståelser En side skal parres med sin modstående vinkel. Kontrollér, om den tvetydige sinus-situation giver to løsninger. Formelomskrivninger & Isolering b b=\frac{a\sin(B)}{\sin(A)} Find en side, når et modstående side-vinkel-par og en ekstra vinkel kendes. B B_1=\arcsin\!\left(\frac{b\sin(A)}a\right),\quad B_2=180^\circ-B_1 Undersøg begge vinkler; kun vinkler med $A+B<180^\circ$ giver en trekant. Argumentet skal ligge mellem 0 og 1. Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere
Geometri & Måling UVM s. 85 Grundformel Areal af rektangel A=l\cdot b $A$ er rektanglets areal, $l$ længden og $b$ bredden. Eksempel & Beregning Et rektangel har længden $8\text{ cm}$ og bredden $5\text{ cm}$:$$A=8\cdot5=40\text{ cm}^2$$ Typiske faldgruber & misforståelser Længde og bredde skal have samme enhed. Areal angives i kvadratenheder og må ikke forveksles med omkreds. Formelomskrivninger & Isolering Kvadrat A=s^2 Et kvadrat er et rektangel med lige lange sider. 0.-3. kl. 4.-6. kl. 7.-9. kl. 10. kl. Lærerudd. Gym C Gym B Gym A Læs mere
Geometri & Måling UVM s. 85-86 Grundformel Cylinderens krumme overfladeareal A_{\mathrm{krum}}=2\pi rh $A_{\mathrm{krum}}$ er arealet af cylinderens krumme side, $r$ radius og $h$ højden. Eksempel & Beregning En cylinder har $r=3\text{ cm}$ og $h=10\text{ cm}$:$$A_{\mathrm{krum}}=2\pi\cdot3\cdot10=60\pi\approx188{,}50\text{ cm}^2$$ Typiske faldgruber & misforståelser De to cirkulære endeflader er ikke med i det krumme overfladeareal. Areal angives i kvadratenheder. 4.-6. kl. 7.-9. kl. 10. kl. Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere
Geometri & Måling UVM s. 85-86 Grundformel Cylinderens rumfang V=\pi r^2h $V$ er cylinderens rumfang, $r$ radius og $h$ den vinkelrette højde. Grundfladearealet er $G=\pi r^2$. Eksempel & Beregning En cylinder har $r=3\text{ cm}$ og $h=10\text{ cm}$:$$V=\pi\cdot3^2\cdot10=90\pi\approx282{,}74\text{ cm}^3$$ Typiske faldgruber & misforståelser Radius må ikke forveksles med diameter. Rumfang angives i kubikenheder. Formelomskrivninger & Isolering G V=G\cdot h,\quad G=\pi r^2 Rumfang som grundflade gange højde 4.-6. kl. 7.-9. kl. 10. kl. Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere
Geometri & Måling UVM s. 85-86 Grundformel Keglens krumme overfladeareal A_{\mathrm{krum}}=\pi rs $A_{\mathrm{krum}}$ er keglens krumme overfladeareal, $r$ radius og $s$ sidelinjen. Eksempel & Beregning En kegle har $r=3\text{ cm}$ og $s=5\text{ cm}$:$$A_{\mathrm{krum}}=\pi\cdot3\cdot5=15\pi\approx47{,}12\text{ cm}^2$$ Typiske faldgruber & misforståelser Sidelinjen $s$ må ikke forveksles med den vinkelrette højde $h$. Grundfladen er ikke medregnet. 7.-9. kl. 10. kl. Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere
Geometri & Måling UVM s. 85-86 Grundformel Keglens rumfang V=\frac13\pi r^2h $V$ er keglens rumfang, $r$ radius og $h$ den vinkelrette højde. Eksempel & Beregning En kegle har $r=3\text{ cm}$ og $h=8\text{ cm}$:$$V=\frac13\pi\cdot3^2\cdot8=24\pi\approx75{,}40\text{ cm}^3$$ Typiske faldgruber & misforståelser Faktoren $1/3$ må ikke glemmes. Brug den vinkelrette højde og ikke sidelinjen. Formelomskrivninger & Isolering G V=\frac13G h Rumfang med grundfladeareal 7.-9. kl. 10. kl. Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere
Geometri & Måling UVM s. 85-86 Grundformel Kuglens overfladeareal A=4\pi r^2 $A$ er kuglens overfladeareal, og $r$ er radius. Eksempel & Beregning En kugle har radius $3\text{ cm}$:$$A=4\pi\cdot3^2=36\pi\approx113{,}10\text{ cm}^2$$ Typiske faldgruber & misforståelser Radius skal opløftes i anden. Overfladeareal angives i kvadratenheder. 7.-9. kl. 10. kl. Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere
Geometri & Måling UVM s. 85-86 Grundformel Kuglens rumfang V=\frac43\pi r^3 $V$ er kuglens rumfang, og $r$ er radius. Eksempel & Beregning En kugle har radius $3\text{ cm}$:$$V=\frac43\pi\cdot3^3=36\pi\approx113{,}10\text{ cm}^3$$ Typiske faldgruber & misforståelser Radius opløftes i tredje potens. Radius og diameter må ikke forveksles, og rumfang angives i kubikenheder. 7.-9. kl. 10. kl. Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere
Geometri & Måling UVM (103) Grundformel Grundrelationen i trigonometri \cos^2(v)+\sin^2(v)=1 Grundrelationen følger af Pythagoras i enhedscirklen og gælder for enhver vinkel $v$. Eksempel & Beregning Hvis $\sin(v)=0{,}6$ og $v$ er spids:$$\cos(v)=\sqrt{1-0{,}6^2}=\sqrt{0{,}64}=0{,}8$$ Typiske faldgruber & misforståelser Ved løsning for sinus eller cosinus kan både en positiv og negativ rod være relevant afhængigt af vinklens kvadrant. Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere
Geometri & Måling UVM (97) Grundformel Tangensrelationen \tan(v)=\frac{\sin(v)}{\cos(v)} Tangens kan beregnes som sinus divideret med cosinus, når $\cos(v)\ne0$. Eksempel & Beregning Hvis $\sin(v)=0{,}6$ og $\cos(v)=0{,}8$:$$\tan(v)=\frac{0{,}6}{0{,}8}=0{,}75$$ Typiske faldgruber & misforståelser Formlen er ikke defineret, når $\cos(v)=0$. Fortegnene afhænger af vinklens kvadrant. Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere
Geometri & Måling UVM (14) Grundformel Cosinus i en retvinklet trekant \cos(A)=\frac bc $b$ er kateten hosliggende til den spidse vinkel $A$, og $c$ er hypotenusen. Eksempel & Beregning $$b=4,\ c=5\Rightarrow A=\arccos(4/5)\approx36{,}87^\circ$$ Typiske faldgruber & misforståelser Hypotenusen er ikke den hosliggende katete, selv om begge sider møder vinklen. Brug grader ved vinkelmål i grader. Formelomskrivninger & Isolering b b=c\cos(A) Hosliggende katete. c c=\frac b{\cos(A)} Hypotenuse. A A=\arccos(b/c) Den spidse vinkel, når $0<b<c$. 7.-9. kl. 10. kl. Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere
Geometri & Måling Trigonometriske additionsformler \cos(x\pm y)=\cos x\cos y\mp\sin x\sin y,\quad\sin(x\pm y)=\sin x\cos y\pm\cos x\sin y Supplerende stof. Additions- og subtraktionsformlerne omskriver sinus og cosinus til en sum eller differens af vinkler. Dobbeltvinkelformler fås ved $y=x$. Eksempel & Beregning $$\sin(75^\circ)=\sin(45^\circ+30^\circ)$$$$=\frac{\sqrt2}{2}\frac{\sqrt3}{2}+\frac{\sqrt2}{2}\frac12=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$$ Typiske faldgruber & misforståelser Fortegnene i cosinusformlen skifter modsat tegnet mellem vinklerne. Bland ikke sinus- og cosinusleddene. Formelomskrivninger & Isolering 2x \sin(2x)=2\sin x\cos x Dobbeltvinkelformel for sinus 2x \cos(2x)=\cos^2x-\sin^2x Dobbeltvinkelformel for cosinus Gym A Lærerudd. Læs mere
Geometri & Måling UVM (104-109) Trigonometriske overgangsformler \cos(-x)=\cos x,\quad\sin(-x)=-\sin x,\quad\sin(\pi-x)=\sin x,\quad\cos(\pi-x)=-\cos x Overgangsformlerne beskriver symmetrier og periodiske sammenhænge for sinus og cosinus. Eksempel & Beregning $$\sin(-30^\circ)=-\sin(30^\circ)=-\frac12$$$$\cos(180^\circ-60^\circ)=-\cos(60^\circ)=-\frac12$$ Typiske faldgruber & misforståelser Vær opmærksom på fortegn og på, om vinklerne måles i grader eller radianer. Formelomskrivninger & Isolering Periodicitet \sin(x+2\pi)=\sin x,\quad\cos(x+2\pi)=\cos x En hel omdrejning er $2\pi$ radianer eller 360°. Gym A Lærerudd. Læs mere
Geometri & Måling UVM (16) Grundformel Tangens i en retvinklet trekant \tan(A)=\frac ab $a$ er modstående katete og $b$ hosliggende katete til den spidse vinkel $A$. Eksempel & Beregning $$a=3,\ b=4\Rightarrow A=\arctan(3/4)\approx36{,}87^\circ$$ Typiske faldgruber & misforståelser Tangens bruger de to kateter. Hypotenusen indgår ikke i dette forhold. Formelomskrivninger & Isolering a a=b\tan(A) Modstående katete. b b=\frac a{\tan(A)} Hosliggende katete. A A=\arctan(a/b) Den spidse vinkel for $a,b>0$. 7.-9. kl. 10. kl. Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere
Geometri & Måling Grundformel Kassens rumfang V=lbh $l,b,h$ er kassens længde, bredde og højde. Eksempel & Beregning $$V=5\cdot3\cdot2=30\text{ cm}^3$$ Typiske faldgruber & misforståelser Alle mål skal være i samme længdeenhed. Rumfang angives i kubikenheder. Formelomskrivninger & Isolering h h=\frac{V}{lb} Højde for $l,b>0$. Terning V=s^3 En terning har tre lige lange kanter. 4.-6. kl. 7.-9. kl. 10. kl. Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere
Geometri & Måling Grundformel Kassens overfladeareal A=2(lb+lh+bh) En lukket kasse har tre par lige store rektangulære flader. Eksempel & Beregning $$A=2(5\cdot3+5\cdot2+3\cdot2)=62\text{ cm}^2$$ Typiske faldgruber & misforståelser En åben kasse har færre flader. Overfladeareal angives i kvadratenheder. Formelomskrivninger & Isolering Terning A=6s^2 Seks kvadratiske flader. 4.-6. kl. 7.-9. kl. 10. kl. Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere
Geometri & Måling Grundformel Prismets rumfang V=Gh $G$ er grundfladens areal, og $h$ er den vinkelrette afstand mellem de parallelle grundflader. Eksempel & Beregning $$G=12\text{ cm}^2,\ h=5\text{ cm}\Rightarrow V=60\text{ cm}^3$$ Typiske faldgruber & misforståelser Grundfladen kan være en trekant eller en anden polygon. Brug den vinkelrette højde. Formelomskrivninger & Isolering G G=V/h Grundfladeareal for $h>0$. h h=V/G Højde for $G>0$. 4.-6. kl. 7.-9. kl. 10. kl. Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere
Geometri & Måling Grundformel Pyramidens rumfang V=\frac13Gh $G$ er grundfladens areal. Højden $h$ måles vinkelret fra toppunktet til grundfladens plan. Eksempel & Beregning $$G=24\text{ cm}^2,\ h=9\text{ cm}\Rightarrow V=72\text{ cm}^3$$ Typiske faldgruber & misforståelser En skrå sidekant er ikke højden. Husk faktoren $1/3$. Formelomskrivninger & Isolering h h=3V/G Højde for $G>0$. G G=3V/h Grundfladeareal for $h>0$. 7.-9. kl. 10. kl. Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere
Geometri & Måling Grundformel Cylinderens samlede overflade A=2\pi r^2+2\pi rh En lukket ret cylinder har to cirkulære endeflader og en krum sideflade. Eksempel & Beregning $$r=2,\ h=5\Rightarrow A=8\pi+20\pi=28\pi\approx87{,}96$$ Typiske faldgruber & misforståelser Den krumme overflade alene er $2\pi rh$. Undersøg, om beholderen har låg og bund. 7.-9. kl. 10. kl. Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere
Geometri & Måling Grundformel Keglens samlede overflade A=\pi r^2+\pi rs En ret cirkelkegle har en cirkulær grundflade og en krum sideflade. $s$ er sidelinjen. Eksempel & Beregning $$r=3,\ s=5\Rightarrow A=9\pi+15\pi=24\pi\approx75{,}40$$ Typiske faldgruber & misforståelser Brug sidelinjen $s$, ikke den lodrette højde, i den krumme flade. Formelomskrivninger & Isolering s s=\sqrt{r^2+h^2} Sidelinjen i en ret cirkelkegle. 7.-9. kl. 10. kl. Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere
Geometri & Måling Grundformel Areal af cirkeludsnit A=\frac{v}{360^\circ}\pi r^2 Et cirkeludsnit med centervinkel $v$ udgør samme andel af cirklens areal som vinklen af en hel omdrejning. Eksempel & Beregning $$v=90^\circ,\ r=4\Rightarrow A=\tfrac14\pi\cdot16=4\pi\approx12{,}57$$ Typiske faldgruber & misforståelser $v$ skal være i grader i denne formel. Et cirkeludsnit afgrænses af to radier og en bue. 7.-9. kl. 10. kl. Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere
Geometri & Måling Grundformel Længde af cirkelbue b=\frac{v}{360^\circ}2\pi r Buen med centervinkel $v$ udgør en andel af cirklens omkreds. Eksempel & Beregning $$v=90^\circ,\ r=4\Rightarrow b=\tfrac14\cdot8\pi=2\pi\approx6{,}28$$ Typiske faldgruber & misforståelser Buen er ikke korden. Cirkeludsnittets samlede omkreds er $b+2r$ for $0<v<360^\circ$. 7.-9. kl. 10. kl. Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere
Geometri & Måling UVM (18) Grundformel Trekantens vinkelsum A+B+C=180^\circ De tre indvendige vinkler i en trekant har summen 180°. Eksempel & Beregning $$A=45^\circ,\ B=65^\circ\Rightarrow C=180^\circ-45^\circ-65^\circ=70^\circ$$ Typiske faldgruber & misforståelser Brug trekantens indvendige vinkler. Alle tre skal være positive. Formelomskrivninger & Isolering C C=180^\circ-A-B Find den tredje vinkel. 4.-6. kl. 7.-9. kl. 10. kl. Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere
Geometri & Måling UVM (19) Grundformel Trekantens omkreds O=a+b+c Omkredsen er summen af de tre sidelængder. Eksempel & Beregning $$a=4,\ b=5,\ c=6\Rightarrow O=15$$ Typiske faldgruber & misforståelser Angiv omkreds i længdeenheder. En trekants højde indgår ikke i omkredsen. 4.-6. kl. 7.-9. kl. 10. kl. Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere
Geometri & Måling Grundformel Gennemsnitsfart v=\frac st $s$ er den samlede tilbagelagte strækning, og $t>0$ er den samlede tid. Eksempel & Beregning $$s=150\text{ km},\ t=2\text{ h}\Rightarrow v=75\text{ km/h}$$ Typiske faldgruber & misforståelser Omregn tiden før division. Gennemsnitsfart er ikke generelt gennemsnittet af delstrækningernes fart. Formelomskrivninger & Isolering s s=vt Strækning. t t=s/v Tid for $v>0$. Enheder 1\text{ m/s}=3{,}6\text{ km/h} Gang med 3,6 fra m/s til km/h. 7.-9. kl. 10. kl. Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere
Geometri & Måling Grundformel Massefylde \rho=\frac mV $m$ er massen, og $V>0$ er rumfanget. Massefylde angiver masse pr. rumfangsenhed. Eksempel & Beregning $$m=240\text{ g},\ V=30\text{ cm}^3\Rightarrow\rho=8\text{ g/cm}^3$$ Typiske faldgruber & misforståelser Enhederne skal passe sammen. $1\text{ g/cm}^3=1000\text{ kg/m}^3$. Formelomskrivninger & Isolering m m=\rho V Masse. V V=m/\rho Rumfang for $ ho>0$. 7.-9. kl. 10. kl. Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere
Geometri & Måling UVM (10-11) Grundformel Enhedscirklen P=(\cos v,\sin v) Enhedscirklen har centrum $(0,0)$ og radius 1. Vinklen måles fra den positive $x$-akse; punktets koordinater er cosinus og sinus. Eksempel & Beregning $$v=90^\circ\Rightarrow P=(0,1)$$ Typiske faldgruber & misforståelser Cosinus er $x$-koordinaten; sinus er $y$-koordinaten. Uden for første kvadrant kan koordinaterne være negative. Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere
Geometri & Måling UVM (24) Grundformel Højde i en trekant h_b\perp b Højden fra $B$ er det vinkelrette linjestykke fra $B$ til linjen gennem den modstående side $b$. Eksempel & Beregning Er $T=18$ og $b=6$, fås $h_b=2T/b=6$. Typiske faldgruber & misforståelser I en stumpvinklet trekant kan højden ramme sidens forlængelse uden for trekanten. 7.-9. kl. 10. kl. Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere
Geometri & Måling UVM (25) Grundformel Median i en trekant AM=MC Medianen fra $B$ forbinder $B$ med midtpunktet $M$ på den modstående side $AC$. Eksempel & Beregning Er $AC=10$, deler medianen siden i $AM=MC=5$. Typiske faldgruber & misforståelser En median er ikke generelt en højde eller vinkelhalveringslinje. 7.-9. kl. 10. kl. Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere
Geometri & Måling UVM (26) Grundformel Vinkelhalveringslinje v_1=v_2=\frac v2 En vinkelhalveringslinje deler en vinkel i to lige store vinkler. Eksempel & Beregning En vinkel på 74° deles i to vinkler på 37°. Typiske faldgruber & misforståelser Vinkelhalvering er ikke det samme som at halvere den modstående side. 7.-9. kl. 10. kl. Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere
Geometri & Måling UVM (27) Grundformel Midtnormal n\perp AB,\quad AM=MB Midtnormalen til $AB$ er linjen gennem linjestykkets midtpunkt $M$, vinkelret på $AB$. Alle dens punkter har samme afstand til $A$ og $B$. Eksempel & Beregning For $A=(0,0)$ og $B=(6,0)$ er midtnormalen $x=3$. Typiske faldgruber & misforståelser Midtnormalen er en hel linje. Den behøver ikke gå gennem trekantens modstående hjørne. 7.-9. kl. 10. kl. Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere
Tal, Brøker & Algebra UVM (334) Grundformel Multiplikation af brøker \frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd} Ved multiplikation af brøker ganges tæller med tæller og nævner med nævner. Eksempel & Beregning $$\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{5}=\frac{3\cdot2}{4\cdot5}=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}$$ Typiske faldgruber & misforståelser Forkort gerne før eller efter multiplikationen. Nævnerne må ikke lægges sammen. Træn denne formel (2 opgaver) 4.-6. kl. 7.-9. kl. 10. kl. Gym C Lærerudd. Læs mere
Tal, Brøker & Algebra Grundskole Grundformel Regnearternes hierarki & Regneregler \text{1. Parenteser } () \longrightarrow \text{2. Potenser/Rødder } a^n \longrightarrow \text{3. Gange/Dividere } \cdot, : \longrightarrow \text{4. Plus/Minus } +, - I matematiske beregninger udføres regnearterne altid i en fast prioriteret rækkefølge: Først udregnes parenteser indefra og ud, dernæst potenser og rødder, herefter multiplikation og division fra venstre mod højre, og til sidst addition og subtraktion. Eksempel & Beregning $$5 + 3 \cdot 2^2 = 5 + 3 \cdot 4 = 5 + 12 = 17$$$$(5 + 3) \cdot 2^2 = 8 \cdot 4 = 32$$ Typiske faldgruber & misforståelser Pas på: Man må aldrig lægge sammen før man ganger: $2 + 3 \cdot 4 \neq 5 \cdot 4 = 20$. Det korrekte er $2 + (3 \cdot 4) = 2 + 12 = 14$. 4.-6. kl. 7.-9. kl. 10. kl. Gym C Lærerudd. Læs mere
Tal, Brøker & Algebra UVM (321-323) Grundformel Andengradsligning & Diskriminant ax^2 + bx + c = 0 \implies d = b^2 - 4ac \quad , \quad x = \frac{-b \pm \sqrt{d}}{2a} En andengradsligning med koefficienter $a \neq 0, b, c$. Diskriminanten $d$ afgør antallet af løsninger: - $d > 0$: To reelle rødder. - $d = 0$: Én reel rod (dobbeltrod) $x = -b / (2a)$. - $d < 0$: Ingen reelle løsninger. Eksempel & Beregning Løs ligningen $2x^2 - 4x - 6 = 0$:$$a = 2, b = -4, c = -6$$$$d = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 16 + 48 = 64$$$$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 2} = \frac{4 \pm 8}{4} \implies x_1 = 3, \quad x_2 = -1$$ Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere
Tal, Brøker & Algebra UVM (328-330) Grundformel Kvadratsætningerne (a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \quad , \quad (a-b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \quad , \quad (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 1. Kvadratet på en toleddet sum er kvadratet på første led plus kvadratet på andet led plus det dobbelte produkt.2. Kvadratet på en toleddet differens er kvadratet på første led plus kvadratet på andet led minus det dobbelte produkt.3. To tals sum gange de samme to tals differens er kvadratet på første led minus kvadratet på andet led. Eksempel & Beregning $$(2x + 3)^2 = (2x)^2 + 3^2 + 2 \cdot (2x) \cdot 3 = 4x^2 + 9 + 12x = 4x^2 + 12x + 9$$$$(x + 5)(x - 5) = x^2 - 5^2 = x^2 - 25$$ Typiske faldgruber & misforståelser Klassisk misforståelse: Man må aldrig glemme det dobbelte produkt ($2ab$) ved kvadrering af en parentes: $(a+b)^2 \neq a^2 + b^2$. Husk altid: $(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$. 7.-9. kl. 10. kl. Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere
Tal, Brøker & Algebra UVM (331-332) Grundformel Addition og subtraktion af brøker \frac{a}{c}\pm\frac{b}{c}=\frac{a\pm b}{c} Brøker kan lægges sammen eller trækkes fra hinanden, når de har samme nævner. Ellers skal de først omskrives til fællesnævner. Eksempel & Beregning $$\frac{2}{3}+\frac{1}{4}=\frac{8}{12}+\frac{3}{12}=\frac{11}{12}$$ Typiske faldgruber & misforståelser Man må ikke lægge nævnerne sammen. Find fællesnævner, før tællerne lægges sammen eller trækkes fra. Træn denne formel (2 opgaver) 4.-6. kl. 7.-9. kl. 10. kl. Gym C Lærerudd. Læs mere
Tal, Brøker & Algebra UVM (337) Grundformel Division af brøker \frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c} Man dividerer med en brøk ved at gange med den omvendte brøk. Eksempel & Beregning $$\frac{3}{4}:\frac{2}{5}=\frac{3}{4}\cdot\frac{5}{2}=\frac{15}{8}=1\frac{7}{8}$$ Typiske faldgruber & misforståelser Det er kun den brøk, der divideres med, som vendes om. Man må ikke dividere tæller og nævner på tværs uden begrundelse. 4.-6. kl. 7.-9. kl. 10. kl. Gym C Lærerudd. Læs mere
Tal, Brøker & Algebra UVM (338-346) Grundformel Potensregneregler \begin{aligned}a^ra^s&=a^{r+s}&\frac{a^r}{a^s}&=a^{r-s}\\(a^r)^s&=a^{rs}&(ab)^r&=a^rb^r\\\left(\frac ab\right)^r&=\frac{a^r}{b^r}&a^{-r}&=\frac1{a^r}\\a^0&=1\end{aligned} Disse regler gælder for positive grundtal $a,b$ og reelle eksponenter. Ved heltallige eksponenter kan flere grundtal bruges, når alle udtryk er definerede. Eksempel & Beregning $$2^3\cdot2^4=2^{3+4}=2^7=128$$$$\frac{5^6}{5^2}=5^{6-2}=5^4=625$$ Typiske faldgruber & misforståelser Eksponenterne kan kun samles direkte, når grundtallet er det samme. Ved $(a^n)^m$ skal eksponenterne ganges. 7.-9. kl. 10. kl. Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere
Tal, Brøker & Algebra UVM (347-351) Grundformel Rødder og brøkeksponenter a^{1/n}=\sqrt[n]{a} En rod kan skrives som en potens med brøkeksponent. $n$ er rodens orden, og $a$ er radikanden. Eksempel & Beregning $$81^{1/4}=\sqrt[4]{81}=3$$fordi $3^4=81$. Typiske faldgruber & misforståelser Ved lige rødder i de reelle tal skal radikanden være ikke-negativ. Rodens orden må ikke være nul. Formelomskrivninger & Isolering Brøkeksponent a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m} Her er $a>0$ og $n$ et positivt heltal. Rod af produkt \sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b For $a,b\ge0$. Rod af kvotient \sqrt{a/b}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b} For $a\ge0$ og $b>0$. 7.-9. kl. 10. kl. Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere
Tal, Brøker & Algebra UVM (82-84) Grundformel Titalslogaritmens regneregler \begin{aligned}\log(ab)&=\log(a)+\log(b)\\\log(a/b)&=\log(a)-\log(b)\\\log(a^r)&=r\log(a)\end{aligned} Titalslogaritmen $\log$ har grundtal 10. Produkt-, kvotient- og potensreglen gælder for $a,b>0$ og reelt $r$. Eksempel & Beregning $$\log(2\cdot5)=\log(2)+\log(5)=\log(10)=1$$ Typiske faldgruber & misforståelser Logaritmens argument skal være positivt. $\log(a+b)$ er ikke $\log(a)+\log(b)$. Brug samme logaritmegrundtal på begge sider. Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere
Tal, Brøker & Algebra UVM (87-93) Grundformel Den naturlige logaritmes regler \begin{aligned}\ln(ab)&=\ln(a)+\ln(b)\\\ln(a/b)&=\ln(a)-\ln(b)\\\ln(a^r)&=r\ln(a)\end{aligned} Den naturlige logaritme $\ln$ har grundtal $e$. Reglerne gælder for $a,b>0$ og reelt $r$. Eksempel & Beregning $$\ln(e^3)=3\ln(e)=3$$ Typiske faldgruber & misforståelser Argumenterne skal være positive. $\ln(a+b)$ er ikke $\ln(a)+\ln(b)$. Formelomskrivninger & Isolering Definition y=\ln(x)\iff e^y=x Gælder for $x>0$. Grundværdier \ln(1)=0,\quad\ln(e)=1 Naturlig logaritme med grundtal $e$. Inverse sammenhænge \ln(e^x)=x,\quad e^{\ln(x)}=x Den sidste lighed kræver $x>0$. Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere
Tal, Brøker & Algebra UVM (80-86) Grundformel Logaritmer og eksponentialligninger y=\log(x)\iff10^y=x Titalslogaritmen finder eksponenten i en potens med grundtal 10. For $x>0$ gælder $10^{\log(x)}=x$ og $\log(10^x)=x$. Desuden er $\log(1)=0$ og $\log(10)=1$. Eksempel & Beregning $$3\cdot1{,}05^x=12\Rightarrow1{,}05^x=4$$$$x=\frac{\log(4)}{\log(1{,}05)}\approx28{,}41$$ Typiske faldgruber & misforståelser Isolér potensen, før logaritmen tages. Grundtallet skal være positivt og forskelligt fra 1. Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere
Tal, Brøker & Algebra UVM (316-319) Grundformel Ligningsregler x+b=a\iff x=a-b En ligning bevarer sine løsninger, når samme tal lægges til eller trækkes fra på begge sider. Man må også gange eller dividere begge sider med samme tal forskelligt fra nul. Eksempel & Beregning $$3x+4=19\iff3x=15\iff x=5$$ Typiske faldgruber & misforståelser Division med et udtryk, der kan være nul, kan fjerne løsninger. Kontrollér løsningen i den oprindelige ligning. Formelomskrivninger & Isolering Multiplikation bx=a\iff x=a/b For $be0$. Division x/b=a\iff x=ab For $be0$. 7.-9. kl. 10. kl. Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere
Tal, Brøker & Algebra UVM (325-327) Grundformel Parentesregler \begin{aligned}a(b+c)&=ab+ac\\-(a+b)&=-a-b\\(a+b)(c+d)&=ac+ad+bc+bd\end{aligned} En faktor uden for en parentes ganges på hvert led. Minus foran parentesen skifter fortegn på alle led. Eksempel & Beregning $$3(x-2)=3x-6,\quad -(x-4)=-x+4$$ Typiske faldgruber & misforståelser Et minus skal påvirke alle led i parentesen. Ved to parenteser skal alle led ganges med hinanden. 7.-9. kl. 10. kl. Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere
Tal, Brøker & Algebra UVM (320) Grundformel Nulreglen ab=0\iff a=0\ \text{eller}\ b=0 Et produkt er nul, netop når mindst én faktor er nul. Eksempel & Beregning $$ (x-2)(x+3)=0\Rightarrow x=2\ \text{eller}\ x=-3$$ Typiske faldgruber & misforståelser Reglen gælder produkter, ikke summer. Dividér ikke en mulig nulfaktor væk. Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere
Funktioner & Vækst UVM (40-41) Grundformel Hældningskoefficient og begyndelsesværdi a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1},\quad b=y_1-ax_1 To punkter $(x_1,y_1)$ og $(x_2,y_2)$ bestemmer hældningen $a$. Derefter findes begyndelsesværdien $b$ ved indsættelse. Eksempel & Beregning Linjen går gennem $(2,5)$ og $(4,11)$:$$a=\frac{11-5}{4-2}=3$$$$b=5-3\cdot2=-1$$ Typiske faldgruber & misforståelser $x_1$ og $x_2$ skal være forskellige. Brug samme rækkefølge i tæller og nævner. 7.-9. kl. 10. kl. Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere
Funktioner & Vækst UVM (37) Grundformel Lineær funktion f(x)=ax+b Grafen for $f(x)=ax+b$ er en ret linje. $a$ er hældningskoefficienten, og $b$ er skæringen med $y$-aksen. Eksempel & Beregning For $f(x)=3x-1$ er $a=3$ og $b=-1$. Ved $x=4$ fås:$$f(4)=3\cdot4-1=11$$ Typiske faldgruber & misforståelser Fortegnet på $b$ skal bevares. En lodret linje kan ikke skrives som $f(x)=ax+b$. 7.-9. kl. 10. kl. Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere
Funktioner & Vækst UVM (44) Grundformel Eksponentiel funktion og vækst f(x)=b\,a^x=b(1+r)^x I en eksponentiel funktion er $b$ begyndelsesværdien, $a$ fremskrivningsfaktoren og $r=a-1$ vækstraten som decimaltal. Eksempel & Beregning En størrelse begynder på $500$ og vokser $8\%$ pr. år:$$f(3)=500\cdot1{,}08^3\approx629{,}86$$ Typiske faldgruber & misforståelser Vækstraten skal skrives som decimaltal i formlen. Ved fald er $0<a<1$. 7.-9. kl. 10. kl. Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere
Funktioner & Vækst UVM (52, 55) Grundformel Fordoblings- og halveringskonstant T_2=\frac{\log2}{\log a},\quad T_{1/2}=\frac{\log0{,}5}{\log a} $T_2$ er tiden til en fordobling ved $a>1$, mens $T_{1/2}$ er tiden til en halvering ved $0 Eksempel & Beregning Ved vækstfaktoren $a=1{,}10$ fås:$$T_2=\frac{\log2}{\log1{,}10}\approx7{,}27$$Størrelsen fordobles efter ca. $7{,}27$ tidsenheder. Typiske faldgruber & misforståelser Fordoblingsformlen bruges ved vækst og halveringsformlen ved fald. Logaritmernes grundtal skal være det samme. Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere Funktioner & Vækst UVM (58, 61-64) Potensfunktion f(x)=bx^a Ved en potensfunktion vokser $y$ med en fast procent, når $x$ vokser med en fast procent. $a$ kaldes eksponenten eller elasticiteten. For $a=1$ fås proportionalitet, for $a=-1$ omvendt proportionalitet. Eksempel & Beregning Gennem punkterne $(2, 12)$ og $(4, 48)$ findes eksponenten:$$a = \frac{\log(48) - \log(12)}{\log(4) - \log(2)} = \frac{\log(4)}{\log(2)} = 2$$$$b = \frac{12}{2^2} = 3 \implies f(x) = 3x^2$$ Formelomskrivninger & Isolering a a=\frac{\log(y_2)-\log(y_1)}{\log(x_2)-\log(x_1)} To punkter med $x_1,x_2,y_1,y_2>0$ og $x_1e x_2$. b b=y_1/x_1^a Begyndelsesparameter fra et punkt. Relativ ændring 1+r_y=(1+r_x)^a Relativ ændring i $y$, når $x$ ændres relativt med $r_x>-1$. Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere Funktioner & Vækst UVM (65, 67-71) Grundformel Andengradspolynomium og parabel f(x)=ax^2+bx+c\quad(a\ne0) Grafen for et andengradspolynomium er en parabel. Fortegnet på $a$ bestemmer, om grenene vender opad eller nedad, og $c$ er skæringen med $y$-aksen. Eksempel & Beregning For $f(x)=2x^2-4x+3$ er $a=2>0$, så parablen vender opad. Desuden er $f(0)=3$, så grafen skærer $y$-aksen i $(0,3)$. Typiske faldgruber & misforståelser $a$ må ikke være nul. Koefficienternes fortegn skal aflæses sammen med leddene. 10. kl. Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere Funktioner & Vækst UVM (73) Grundformel Toppunkt for en parabel T=\left(-\frac b{2a},f\!\left(-\frac b{2a}\right)\right) Toppunktets $x$-koordinat er $-b/(2a)$, og $y$-koordinaten findes ved at indsætte den i forskriften. Eksempel & Beregning For $f(x)=x^2-6x+5$:$$x_T=-\frac{-6}{2\cdot1}=3$$$$y_T=f(3)=9-18+5=-4$$Altså er $T=(3,-4)$. Typiske faldgruber & misforståelser Husk minusset foran $b$. Beregn $y_T$ ved indsættelse for at undgå at blande diskriminantformlen ind. Formelomskrivninger & Isolering x_T x_T=-\frac{b}{2a} Toppunktets x-koordinat y_T y_T=f(x_T) Toppunktets y-koordinat Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere Funktioner & Vækst UVM (76-77) Grundformel Ligefrem proportionalitet y=kx Forholdet $y/x$ er konstant for $x\ne0$. Grafen er en ret linje gennem begyndelsespunktet $(0,0)$. Eksempel & Beregning $$k=12,\ x=4\Rightarrow y=48$$ Typiske faldgruber & misforståelser En ret linje med et konstant tillæg er ikke ligefrem proportionalitet. Formelomskrivninger & Isolering k k=y/x Proportionalitetsfaktor for $xe0$. x x=y/k Find $x$ for $ke0$. 7.-9. kl. 10. kl. Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere Funktioner & Vækst UVM (78-79) Grundformel Omvendt proportionalitet y=\frac kx,\quad xy=k Produktet af $x$ og $y$ er konstant. Her er $x\ne0$ og $k\ne0$. Når $x$ fordobles, halveres $y$. Eksempel & Beregning Et areal er 24: $$x=3\Rightarrow y=8;\quad x=6\Rightarrow y=4$$ Typiske faldgruber & misforståelser Omvendt proportionalitet er ikke det samme som en aftagende ret linje. Formelomskrivninger & Isolering x x=k/y For $ye0$. 7.-9. kl. 10. kl. Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere Funktioner & Vækst UVM (48-49) Grundformel Eksponentiel model gennem to punkter a=\left(\frac{y_2}{y_1}\right)^{\frac1{x_2-x_1}},\quad b=\frac{y_1}{a^{x_1}} Bestem $a,b$ i $f(x)=ba^x$ fra to punkter med positive $y$-værdier og forskellige $x$-værdier. Eksempel & Beregning $$ (x_1,y_1)=(0,100),\ (x_2,y_2)=(2,121)\Rightarrow a=\sqrt{121/100}=1{,}1,\ b=100$$ Typiske faldgruber & misforståelser Brug samme punktrækkefølge i brøken og eksponentens nævner. Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere Funktioner & Vækst UVM (74) Grundformel Faktorisering af andengradspolynomium f(x)=a(x-x_1)(x-x_2) Et andengradspolynomium med $a\ne0$ og reelle rødder $x_1,x_2$ kan skrives som et produkt. En dobbeltrod tælles to gange. Eksempel & Beregning $$x^2+x-6=(x-2)(x+3)$$Rødderne er 2 og $-3$. Typiske faldgruber & misforståelser Bevar faktoren $a$ og minusset foran hver rod. Et polynomium uden reelle rødder kan ikke faktoriseres sådan over de reelle tal. Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere Rentesregning & Finans UVM (5) Grundformel Kapitalfremskrivning (Rentesrente) K_n = K_0 \cdot (1+r)^n $K_0$ er startkapitalen, $r$ er rentesatsen pr. termin (angivet som decimaltal, fx $0{,}04$ for $4\%$), $n$ er antallet af terminer, og $K_n$ er slutkapitalen. Eksempel & Beregning Man indsætter $5.000\text{ kr.}$ på en konto til $3\%$ p.a. i $5$ år:$$K_5 = 5.000 \cdot (1 + 0{,}03)^5 = 5.000 \cdot 1{,}159274 = 5.796{,}37\text{ kr.}$$ Typiske faldgruber & misforståelser Skriv renten som decimaltal. Rente og antal terminer skal bruge samme tidsenhed. Formlen gælder et engangsindskud uden ekstra ind- eller udbetalinger; her er $K_0>0$ og $r>-1$. Formelomskrivninger & Isolering K_0 K_0=\frac{K_n}{(1+r)^n} Find startkapitalen. r r=\sqrt[n]{K_n/K_0}-1 Find terminsrenten for positive kapitaler og $n>0$. Træn denne formel (2 opgaver) 7.-9. kl. 10. kl. Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere Rentesregning & Finans UVM (1-4) Grundformel Procentvis ændring og fremskrivning r=\frac{S-B}{B},\quad S=B(1+r) $B$ er begyndelsesværdien, $S$ slutværdien og $r$ ændringen som decimaltal. Fremskrivningsfaktoren er $1+r$. Eksempel & Beregning En pris stiger fra $400\text{ kr.}$ til $460\text{ kr.}$:$$r=\frac{460-400}{400}=0{,}15=15\%$$Kontrol: $400(1+0{,}15)=460\text{ kr.}$ Typiske faldgruber & misforståelser Divider med begyndelsesværdien. Procent og decimaltal må ikke blandes i fremskrivningsformlen. 7.-9. kl. 10. kl. Gym C Gym B Lærerudd. Læs mere Rentesregning & Finans UVM (6) Grundformel Opsparingsannuitet A = b \cdot \frac{(1+r)^n - 1}{r} Beregn kapitalen $A$ umiddelbart efter den sidste af $n$ faste terminsindbetalinger $b$ ved terminsrenten $r$. Eksempel & Beregning Der indbetales $b=1.000\text{ kr.}$ hver måned i $2$ år ($n=24$) til en månedlig rente på $0{,}5\%$ ($r=0{,}005$):$$A = 1.000 \cdot \frac{(1+0{,}005)^{24} - 1}{0{,}005} \approx 25.432\text{ kr.}$$ Typiske faldgruber & misforståelser Renten er pr. termin og skrives som decimaltal. Brug samme termin for rente og indbetaling. Formlen gælder betaling ved slutningen af hver termin. Ved $r=0$ bruges $A=nb$. Formelomskrivninger & Isolering b b=\frac{Ar}{(1+r)^n-1} Terminsindbetaling for $re0$ og $n>0$. Træn denne formel (2 opgaver) Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere Rentesregning & Finans UVM (7) Grundformel Gældsannuitet & Låneydelse y = G \cdot \frac{r}{1 - (1+r)^{-n}} \quad , \quad G = y \cdot \frac{1 - (1+r)^{-n}}{r} Beregner den faste terminsydelse $y$ ved tilbagebetaling af et lån med hovedstol $G$ over $n$ terminer med terminsrente $r$. Eksempel & Beregning Et lån på $100.000\text{ kr.}$ afdrages over $10$ år ($10$ årlige terminer) til $4\%$ i rente ($r = 0{,}04$):$$y = 100.000 \cdot \frac{0{,}04}{1 - (1+0{,}04)^{-10}} = 100.000 \cdot \frac{0{,}04}{1 - 0{,}67556} = 12.329\text{ kr./år}$$ Typiske faldgruber & misforståelser Renten er pr. termin og skrives som decimaltal. Brug samme termin for rente og indbetaling. Formlen gælder betaling ved slutningen af hver termin. Ved $r=0$ bruges $y=G/n$. Træn denne formel (2 opgaver) Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere Rentesregning & Finans Grundformel Procentdel p=\frac{\text{del}}{\text{helhed}}\cdot100\% Procentdelen $p$ angiver, hvor mange hundrededele delen udgør af helheden. Eksempel & Beregning Der er $12$ røde kugler blandt $48$ kugler:$$p=\frac{12}{48}\cdot100\%=25\%$$ Typiske faldgruber & misforståelser Delen og helheden må ikke byttes om. Denne formel har ikke et særskilt match i det analyserede STX-register. 4.-6. kl. 7.-9. kl. 10. kl. Gym C Gym B Lærerudd. Læs mere Rentesregning & Finans UVM (5) Grundformel Antal terminer ved rentesrente n=\frac{\log(K_n/K_0)}{\log(1+r)} Isolering af antal terminer i kapitalformlen. Kapitalerne er positive, $r>-1$, og $r\ne0$. Eksempel & Beregning $$K_0=1000,\ K_n=2000,\ r=0{,}10\Rightarrow n=\frac{\log2}{\log1{,}10}\approx7{,}27$$Ved årlig rentetilskrivning er kapitalen mindst fordoblet efter 8 hele år. Typiske faldgruber & misforståelser Et negativt resultat betyder, at målet ligger bagud i modellen. Rund kun op, når der spørges om hele terminer til mindst en bestemt kapital. Ved $r=0$ vokser kapitalen ikke. Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere Differential- & Integralregning Stedvektor og hastighedsvektor \vec{r}=\binom{x(t)}{y(t)},\quad\vec v(t)=\vec{r}'(t)=\binom{x'(t)}{y'(t)} Supplerende stof. Stedvektoren angiver positionen til tiden $t$. Hastighedsvektoren fås ved at differentiere komponentvis. Eksempel & Beregning For $\vec{r}=(t^2,3t)$ fås:$$\vec v(t)=(2t,3)$$Ved $t=2$ er $\vec v(2)=(4,3)$. Typiske faldgruber & misforståelser Begge komponenter skal differentieres. Hastighedsvektoren er ikke det samme som farten, der er dens længde. Gym A Lærerudd. Læs mere Differential- & Integralregning UVM (261-275) Grundformel Afledte af standardfunktioner \begin{aligned}(k)'&=0&(x^n)'&=nx^{n-1}\\(e^{kx})'&=ke^{kx}&(a^x)'&=a^x\ln(a)\\(\ln x)'&=\frac1x&(\sqrt x)'&=\frac1{2\sqrt x}\\(1/x)'&=-\frac1{x^2}&(\sin x)'&=\cos x\\(\cos x)'&=-\sin x\end{aligned} Formlerne bruges til at differentiere standardfunktioner. Den afledte beskriver funktionens øjeblikkelige væksthastighed. De trigonometriske regler bruger radianer. For $a^x$ kræves $a>0$; for $\ln x$ og den viste afledte af $\sqrt x$ kræves $x>0$; for $1/x$ kræves $x\ne0$. Potensreglen bruges, hvor udtrykkene er definerede. Eksempel & Beregning Differentier $f(x)=3x^4-5x^2+7x-9$:$$f'(x)=12x^3-10x+7$$ Typiske faldgruber & misforståelser Konstante led giver nul. Produktreglen hører til det særskilte kort med produkt-, kvotient- og kædereglen. Formelomskrivninger & Isolering Konstant faktor (kf)'=kf' Konstanten bevares. Sum og differens (f\pm g)'=f'\pm g' Differentier led for led. Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere Differential- & Integralregning UVM (254) Grundformel Tangentens ligning y = f'(x_0) \cdot (x - x_0) + f(x_0) Ligningen for tangenten til grafen for $f$ i røringspunktet $(x_0, f(x_0))$, hvor tangentens hældning er $a = f'(x_0)$. Eksempel & Beregning Bestem tangentligningen for $f(x) = x^2$ i punktet $x_0 = 3$:$$f(3) = 3^2 = 9$$$$f'(x) = 2x \implies f'(3) = 2 \cdot 3 = 6$$$$y = 6 \cdot (x - 3) + 9 = 6x - 18 + 9 = 6x - 9$$ Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere Differential- & Integralregning UVM (296, 302-304) Grundformel Bestemt integral og areal under graf \int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a) Det bestemte integral findes ved en stamfunktion $F$. Hvis $f(x)\ge0$ på intervallet, er integralet arealet under grafen. Eksempel & Beregning For $f(x)=3x^2$ fra $x=1$ til $x=3$:$$\int_1^3 3x^2\,dx=[x^3]_1^3=27-1=26$$ Typiske faldgruber & misforståelser Et bestemt integral er fortegnet. Ligger grafen under $x$-aksen, er integralet ikke direkte et positivt areal. Gym A Lærerudd. Læs mere Differential- & Integralregning UVM (285, 291) Grundformel Stamfunktion og ubestemt integral \int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+k\quad(n\ne-1) En stamfunktion $F$ til $f$ opfylder $F'(x)=f(x)$. Konstanten $k$ medtager alle stamfunktioner. Eksempel & Beregning $$\int 3x^2\,dx=x^3+k$$Kontrol: $(x^3+k)'=3x^2$. Typiske faldgruber & misforståelser Integrationskonstanten $k$ må ikke glemmes i et ubestemt integral. Potensreglen gælder ikke for $n=-1$. Gym A Lærerudd. Læs mere Differential- & Integralregning UVM (276) Grundformel Produktreglen (fg)'=f' g+fg' Et produkt differentieres ved at differentiere én faktor ad gangen og lægge de to bidrag sammen. Eksempel & Beregning $$h(x)=x^2e^x\Rightarrow h'(x)=2xe^x+x^2e^x$$ Typiske faldgruber & misforståelser Det er ikke nok at gange de to afledte: $(fg)'\ne f' g'$. Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere Differential- & Integralregning UVM (256-260) Grundformel Monotoniforhold & Lokale ekstrema f'(x) > 0 \implies f \text{ er voksende}, \quad f'(x) < 0 \implies f \text{ er aftagende}, \quad +\!\to\!- \implies \text{lokalt maksimum}, \quad -\!\to\!+ \implies \text{lokalt minimum} Undersøg fortegnet for $f'$ på intervaller. Skift fra plus til minus ved et stationært punkt giver lokalt maksimum; skift fra minus til plus giver lokalt minimum. Eksempel & Beregning For $f(x)=x^3-3x+2$ er $f'(x)=3(x-1)(x+1)$. Den afledte er positiv for $x<-1$, negativ for $-11$. Derfor er $(-1,4)$ lokalt maksimum og $(1,0)$ lokalt minimum. Typiske faldgruber & misforståelser Ligningen $f'(x)=0$ finder kandidater, men fortegnsskiftet afgør typen. Undersøg også intervallets endepunkter, når du søger globalt største eller mindste værdi. Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere Differential- & Integralregning UVM (304) Grundformel Areal mellem to grafer A=\int_a^b\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx\quad(f\ge g) Arealet mellem graferne findes som integralet af den øvre funktion minus den nedre funktion. Eksempel & Beregning Mellem $f(x)=x+2$ og $g(x)=x$ fra $0$ til $3$:$$A=\int_0^3 2\,dx=[2x]_0^3=6$$ Typiske faldgruber & misforståelser Kontrollér hvilken graf der ligger øverst. Skifter graferne plads, skal intervallet opdeles eller absolutværdien håndteres. Gym A Lærerudd. Læs mere Differential- & Integralregning UVM (305-306) Grundformel Rumfang af omdrejningslegeme V=\pi\int_a^b f(x)^2\,dx Når grafen for en ikke-negativ funktion $f$ roteres om $x$-aksen, findes rumfanget ved skivemetoden. Eksempel & Beregning Rotér $f(x)=x$ om $x$-aksen fra $0$ til $2$:$$V=\pi\int_0^2x^2\,dx=\pi\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2=\frac{8\pi}{3}\approx8{,}38$$ Typiske faldgruber & misforståelser Funktionen skal kvadreres. Ved et hult legeme trækkes den indre radius i anden fra den ydre radius i anden. Formelomskrivninger & Isolering V_h V_h=\pi\int_a^b\left(f(x)^2-g(x)^2\right)dx Hult omdrejningslegeme Gym A Lærerudd. Læs mere Differential- & Integralregning UVM (308) Grundformel Eksponentiel differentialligning y'=ky\Rightarrow y=ce^{kx} Når væksthastigheden er proportional med størrelsen selv, er løsningen eksponentiel. $k$ er proportionalitetskonstanten. Eksempel & Beregning Løs $y'=0{,}2y$ med $y(0)=5$:$$y=ce^{0{,}2x},\quad5=c$$$$y=5e^{0{,}2x}$$ Typiske faldgruber & misforståelser Fortegnet på $k$ afgør vækst eller fald. Begyndelsesbetingelsen skal bruges til at bestemme $c$. Gym A Lærerudd. Læs mere Differential- & Integralregning UVM (309) Grundformel Forskudt eksponentiel vækst y'=b-ay\Rightarrow y=\frac ba+ce^{-ax} For $a>0$ beskriver modellen tilnærmelse til ligevægten $b/a$. Konstanten $c$ bestemmes af begyndelsesbetingelsen. Eksempel & Beregning Løs $y'=6-2y$ med $y(0)=1$:$$y=3+ce^{-2x},\quad1=3+c\Rightarrow c=-2$$$$y=3-2e^{-2x}$$ Typiske faldgruber & misforståelser $a$ må ikke være nul i denne form. Ligevægtsværdien er $b/a$, og fortegnet i eksponenten er negativt. Gym A Lærerudd. Læs mere Differential- & Integralregning UVM (310-311) Grundformel Logistisk differentialligning y'=y(b-ay)\Rightarrow y=\frac{b/a}{1+ce^{-bx}} Den logistiske model beskriver vækst, som bremses mod bærekapaciteten $b/a$. I vækstmodellen antages $a,b>0$ og positiv begyndelsesværdi under bærekapaciteten. Nulfunktionen $y=0$ er også en løsning; brøkformen bruges på intervaller uden nul i nævneren. Eksempel & Beregning For $y'=y(2-0{,}5y)$ er bærekapaciteten:$$M=\frac{b}{a}=\frac{2}{0{,}5}=4$$En løsning med $c=3$ er $y=\frac{4}{1+3e^{-2x}}$. Typiske faldgruber & misforståelser Bærekapaciteten er $b/a$, ikke $a/b$. Konstanten $c$ afhænger af begyndelsesværdien. Gym A Lærerudd. Læs mere Differential- & Integralregning Kurvelængde for en vektorfunktion L=\int_a^b\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}\,dt Supplerende stof. Kurvelængden findes ved at integrere farten $|\vec{r}'(t)|$ over parameterintervallet. Eksempel & Beregning For $\vec r(t)=(3t,4t)$, $0\le t\le2$:$$L=\int_0^2\sqrt{3^2+4^2}\,dt=\int_0^2 5\,dt=10$$ Typiske faldgruber & misforståelser Det er de afledte komponenter, der skal kvadreres. Integrationsgrænserne er parameterværdier. Gym A Lærerudd. Læs mere Differential- & Integralregning UVM (278) Grundformel Kvotientreglen \left(\frac fg\right)'=\frac{f' g-fg'}{g^2} Brug kvotientreglen til en brøk af to differentiable funktioner, hvor $g(x)\ne0$. Eksempel & Beregning $$h(x)=\frac{x}{x+1}\Rightarrow h'(x)=\frac{x+1-x}{(x+1)^2}=\frac1{(x+1)^2}$$ Typiske faldgruber & misforståelser Rækkefølgen i tælleren er vigtig. Hele nævneren kvadreres. Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere Differential- & Integralregning UVM (277) Grundformel Kædereglen (f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x) Differentier den ydre funktion med den indre funktion urørt. Gang derefter med den indre funktions afledte. Eksempel & Beregning $$h(x)=(3x^2+5)^4\Rightarrow h'(x)=4(3x^2+5)^3\cdot6x$$ Typiske faldgruber & misforståelser Den indre afledte skal med. Den ydre afledte skal stadig beregnes i $g(x)$. Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere Differential- & Integralregning Andenafledt-test for ekstrema f'(x_0)=0:\quad f''(x_0)>0\Rightarrow\text{lokalt minimum},\quad f''(x_0)<0\Rightarrow\text{lokalt maksimum} Supplerende metode til to gange differentiable funktioner. Find først et stationært punkt $x_0$ med $f'(x_0)=0$, og undersøg derefter fortegnet for $f''(x_0)$. Eksempel & Beregning Find ekstrema for $f(x) = x^3 - 3x + 2$: $$f'(x) = 3x^2 - 3 = 0 \iff x^2 = 1 \implies x = 1 \lor x = -1$$ $$f''(x) = 6x \implies f''(-1) = -6 < 0 \text{ (Maksimum i } (-1, 4)), \quad f''(1) = 6 > 0 \text{ (Minimum i } (1, 0))$$ Typiske faldgruber & misforståelser Hvis $f''(x_0)=0$, afgør testen ikke punktets type. Brug da fortegnet for $f'$ på hver side. Et stationært punkt er ikke altid et ekstremum. Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere Vektorer & Analytisk Geometri UVM (209) Midtpunktsformlen M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) Midtpunktsformlen bruges til at beregne koordinaterne for midtpunktet $M$ på linjestykket mellem to punkter $A(x_1, y_1)$ og $B(x_2, y_2)$ i et koordinatsystem. Midtpunktets koordinater findes som gennemsnittet (middeltallet) af de to punkters $x$-koordinater og $y$-koordinater. Variabler: • $A(x_1, y_1)$: Startpunktets koordinater • $B(x_2, y_2)$: Slutpunktets koordinater • $M(x_M, y_M)$: Midtpunktets koordinater Eksempel & Beregning Find midtpunktet $M$ mellem punkterne $A(2, 3)$ og $B(6, 7)$: 1. Beregn $x$-koordinaten: $x_M = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4$ 2. Beregn $y$-koordinaten: $y_M = \frac{3 + 7}{2} = \frac{10}{2} = 5$ Midtpunktets koordinater er $M(4, 5)$. Typiske faldgruber & misforståelser • Fortegnsfejl ved negative tal: Husk at lægge tallene sammen med fortegn, f.eks. $\frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1$ og $\frac{2 + (-4)}{2} = \frac{-2}{2} = -1$. • Forveksling med afstands- eller hældningsformlen: I midtpunktsformlen skal koordinaterne lægges sammen ($x_1 + x_2$), hvor man i afstands- og hældningsformlen trækker dem fra hinanden ($x_2 - x_1$). • Blanding af $x$ og $y$: Sørg for kun at lægge de to $x$-værdier sammen i første brøk og de to $y$-værdier i anden brøk. Formelomskrivninger & Isolering Find endepunkt ud fra midtpunkt x_2 = 2 \cdot x_M - x_1, \quad y_2 = 2 \cdot y_M - y_1 Hvis midtpunktet $M$ og punktet $A$ er kendt, kan koordinaterne til det ukendte endepunkt $B$ isoleres og findes således. CAS-kommandoer & Software GeoGebra Midtpunkt(A, B) WordMat M:=((x_1+x_2)/2 , (y_1+y_2)/2) TI-Nspire ( [x1, y1] + [x2, y2] ) / 2 Trekantsberegner Træn denne formel (2 opgaver) Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere Vektorer & Analytisk Geometri UVM (181) Grundformel Vektorlængde |\vec a|=\sqrt{a_1^2+a_2^2} Længden af vektoren $\vec a=(a_1,a_2)$ findes med Pythagoras. Eksempel & Beregning For $\vec a=(3,4)$:$$|\vec a|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$$ Typiske faldgruber & misforståelser Komponenterne skal kvadreres før addition. Vektorlængden er altid ikke-negativ. Gym A Lærerudd. Læs mere Vektorer & Analytisk Geometri UVM (190, 192-193) Grundformel Vektorer: Skalarprodukt & Vinkel \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(v) \quad , \quad \cos(v) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} Skalarproduktet (prikproduktet) af to 2D-vektorer. Vektorerne er ortogonale (vinkelrette), netop når $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$. Vinklen $v$ mellem to egentlige vektorer findes ud fra cosinusformlen. Eksempel & Beregning Givet $\vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$ og $\vec{b} = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \end{pmatrix}$:$$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 4 + 4 \cdot (-3) = 12 - 12 = 0$$Da skalarproduktet er $0$, er de to vektorer vinkelrette ($v = 90^\circ$). Typiske faldgruber & misforståelser Vinkelberegningen kræver to vektorer, der begge er forskellige fra nulvektoren. Skalarproduktet er et tal, ikke en vektor. Gym A Lærerudd. Læs mere Vektorer & Analytisk Geometri UVM (183) Grundformel Afstand mellem to punkter |AB|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} Afstanden mellem $A(x_1,y_1)$ og $B(x_2,y_2)$ er længden af forbindelsesvektoren fra $A$ til $B$. Eksempel & Beregning For $A(1,2)$ og $B(4,6)$:$$|AB|=\sqrt{(4-1)^2+(6-2)^2}=\sqrt{25}=5$$ Typiske faldgruber & misforståelser Brug samme punktrækkefølge i begge koordinatforskelle. Hele forskellen skal kvadreres. Træn denne formel (2 opgaver) 7.-9. kl. 10. kl. Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere Vektorer & Analytisk Geometri UVM (197-201) Grundformel Determinant for to vektorer \det(\vec a,\vec b)=a_1b_2-a_2b_1 Determinanten måler det orienterede areal udspændt af to vektorer. Determinanten er nul netop for parallelle vektorer. Eksempel & Beregning For $\vec a=(2,1)$ og $\vec b=(3,4)$:$$\det(\vec a,\vec b)=2\cdot4-1\cdot3=5$$ Typiske faldgruber & misforståelser Leddenes rækkefølge bestemmer fortegnet. Brug absolutværdien ved geometrisk areal. Formelomskrivninger & Isolering A A_{\mathrm{parallelogram}}=|\det(\vec a,\vec b)| Areal af parallelogram T T=\frac12|\det(\vec a,\vec b)| Areal af trekant Gym A Lærerudd. Læs mere Vektorer & Analytisk Geometri UVM (196) Grundformel Tværvektor \hat{\vec a}=\begin{pmatrix}-a_2\\a_1\end{pmatrix} En tværvektor til $\vec a=(a_1,a_2)$ fås ved at bytte komponenterne og skifte fortegn på den første. Vektorerne er vinkelrette. Eksempel & Beregning For $\vec a=(3,4)$:$$\hat{\vec a}=(-4,3)$$Kontrol: $3\cdot(-4)+4\cdot3=0$. Typiske faldgruber & misforståelser Der findes to modsatrettede tværvektorer. Fortegnsskiftet må ikke glemmes. Gym A Lærerudd. Læs mere Vektorer & Analytisk Geometri UVM (194-195) Grundformel Vektorer: Projektion af vektor på vektor \vec{a}_{\vec{b}} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2} \cdot \vec{b} \quad , \quad |\vec{a}_{\vec{b}}| = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{b}|} Projektionen $\vec{a}_{\vec{b}}$ er den vinkelrette projektion af $\vec{a}$ ned på $\vec{b}$. Resultatet er en vektor parallel med $\vec{b}$. Længden af projektionsvektoren beregnes som den numeriske værdi af skalarproduktet divideret med længden af $\vec{b}$. Eksempel & Beregning Givet $\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}$ og $\vec{b} = \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix}$:$$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 5 + 4 \cdot 1 = 9 \quad , \quad |\vec{b}|^2 = 5^2 + 1^2 = 26$$$$\vec{a}_{\vec{b}} = \frac{9}{26} \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 45/26 \\ 9/26 \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} 1{,}73 \\ 0{,}35 \end{pmatrix}$$ Typiske faldgruber & misforståelser Vektoren, der projiceres på, må ikke være nulvektoren. Projektionsvektoren kan pege modsat $\vec b$; længden er altid ikke-negativ. Formelomskrivninger & Isolering Længde |\vec{a}_{\vec{b}}| = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{b}|} Længde af projektionsvektor Gym A Lærerudd. Læs mere Vektorer & Analytisk Geometri UVM (215) Grundformel Afstand fra punkt til linje \operatorname{dist}(P,l)=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} Formlen giver den vinkelrette afstand fra punktet $P(x_1,y_1)$ til linjen $l: ax+by+c=0$. Her skal $(a,b)\ne(0,0)$. Eksempel & Beregning Fra $P=(1,2)$ til $l:3x+4y-10=0$:$$\operatorname{dist}(P,l)=\frac{|3+8-10|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac15=0{,}2$$ Typiske faldgruber & misforståelser Linjen skal stå på formen $ax+by+c=0$. Absolutværdien i tælleren må ikke glemmes. Gym A Lærerudd. Læs mere Vektorer & Analytisk Geometri UVM (212) Grundformel Linjens ligning på normalform ax+by+c=0 I normalformen er $(a,b)$ en normalvektor til linjen, og $c$ bestemmer placeringen. Her skal $(a,b)\ne(0,0)$. Eksempel & Beregning Linjen gennem $(2,1)$ med normalvektor $(3,-1)$ opfylder:$$3(x-2)-(y-1)=0$$$$3x-y-5=0$$ Typiske faldgruber & misforståelser $a$ og $b$ må ikke begge være nul. En retningsvektor er vinkelret på normalvektoren. Gym A Lærerudd. Læs mere Vektorer & Analytisk Geometri UVM (219) Grundformel Cirkeltangent med normalvektor (x_0-a)(x-x_0)+(y_0-b)(y-y_0)=0 Tangenten i punktet $P=(x_0,y_0)$ er vinkelret på radiusvektoren fra cirklens centrum $C=(a,b)$ til $P$. Eksempel & Beregning Cirklen har centrum $(0,0)$ og $P=(3,4)$:$$3(x-3)+4(y-4)=0$$$$3x+4y-25=0$$ Typiske faldgruber & misforståelser Punktet $P$ skal ligge på cirklen. Radiusvektoren bruges som tangentens normalvektor. Gym A Lærerudd. Læs mere Vektorer & Analytisk Geometri UVM (216) Grundformel Cirklens ligning (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 Ligningen beskriver en cirkel med centrum $C=(a,b)$ og radius $r$. Eksempel & Beregning For $(x-2)^2+(y+1)^2=25$ er centrum $C=(2,-1)$ og radius $r=\sqrt{25}=5$. Typiske faldgruber & misforståelser Fortegnene i centrum aflæses modsat parenteserne. Højresiden er $r^2$, ikke $r$. Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere Vektorer & Analytisk Geometri Grundformel Midtpunkt i rummet M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \, \frac{y_1 + y_2}{2}, \, \frac{z_1 + z_2}{2} \right) Midtpunktets tre koordinater er gennemsnittene af endepunkternes tilsvarende koordinater. Eksempel & Beregning $$A=(0,2,4),\ B=(4,6,8)\Rightarrow M=(2,4,6)$$ Typiske faldgruber & misforståelser Læg koordinater sammen med fortegn. Bland ikke de tre koordinatretninger. Gym A Lærerudd. Læs mere Vektorer & Analytisk Geometri UVM (210) Grundformel Linjens parameterfremstilling \binom{x}{y}=\binom{x_0}{y_0}+t\binom{r_1}{r_2} $(x_0,y_0)$ er et punkt på linjen, og $\vec r=(r_1,r_2)\ne\vec0$ er en retningsvektor. Parameteren $t$ løber gennem de reelle tal. Eksempel & Beregning $$\binom{x}{y}=\binom{2}{1}+t\binom{1}{3}\Rightarrow t=2:\ (x,y)=(4,7)$$ Typiske faldgruber & misforståelser Retningsvektoren skal følge linjen. En normalvektor står vinkelret på linjen. Gym A Lærerudd. Læs mere Vektorer & Analytisk Geometri UVM (218) Grundformel Cirkeltangent og radius t\perp CP Tangenten $t$ i cirkelpunktet $P$ står vinkelret på radius fra centrum $C$. For to ikke-lodrette linjer er hældningernes produkt $-1$. Eksempel & Beregning På cirklen $x^2+y^2=25$ har radius til $P=(3,4)$ hældningen $4/3$. Tangenten er derfor $y-4=-\frac34(x-3)$. Typiske faldgruber & misforståelser Punktet skal ligge på cirklen. En vandret radius giver en lodret tangent og omvendt. Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere Vektorer & Analytisk Geometri UVM (214) Grundformel Afstand til linjen y = ax + b \operatorname{dist}(P,l)=\frac{|ax_1+b-y_1|}{\sqrt{a^2+1}} Afstanden fra $P=(x_1,y_1)$ til linjen $l:y=ax+b$ måles vinkelret på linjen. Eksempel & Beregning $$P=(1,3),\ l:y=2x\Rightarrow d=\frac{|2-3|}{\sqrt5}=\frac1{\sqrt5}\approx0{,}45$$ Typiske faldgruber & misforståelser Formen gælder ikke lodrette linjer. Afstanden er ikke blot den lodrette forskel mellem punktet og grafen. Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere Vektorer & Analytisk Geometri UVM (206-207) Grundformel Linje gennem et punkt y-y_0=a(x-x_0) Linjen går gennem $(x_0,y_0)$ og har hældningen $a$. Eksempel & Beregning $$a=3,\ (x_0,y_0)=(2,5)\Rightarrow y-5=3(x-2)\Rightarrow y=3x-1$$ Typiske faldgruber & misforståelser En lodret linje har formen $x=x_0$ og har ingen endelig hældningskoefficient. Formelomskrivninger & Isolering Lodret linje x=x_0 Alle punkter har samme $x$-koordinat. Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere Vektorer & Analytisk Geometri UVM (203) Grundformel Hældningsvinkel a=\tan(v) $v$ er linjens hældningsvinkel med fortegn, målt fra $x$-aksen og valgt mellem $-90^\circ$ og $90^\circ$. Eksempel & Beregning $$a=1\Rightarrow v=\arctan(1)=45^\circ$$ Typiske faldgruber & misforståelser En lodret linje har ingen endelig hældning. Bevar fortegnet på en negativ hældning. Formelomskrivninger & Isolering v v=\arctan(a) Find hældningsvinklen. Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere Vektorer & Analytisk Geometri UVM (208) Grundformel Vinkelrette linjer a_1a_2=-1 To linjer med endelige hældninger $a_1,a_2$ er vinkelrette, når produktet er $-1$. Eksempel & Beregning $$a_1=2\Rightarrow a_2=-\tfrac12$$ Typiske faldgruber & misforståelser En vandret og en lodret linje er også vinkelrette, men dette tilfælde kan ikke testes med to endelige hældninger. Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere Sandsynlighed & Statistik UVM (159-163) Grundformel Binomialfordeling P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \quad , \quad \mu = n \cdot p \quad , \quad \sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} Beskriver sandsynligheden for at få netop $k$ succeser i $n$ uafhængige gentagelser af et eksperiment med to mulige udfald, hvor sandsynligheden for succes i hvert forsøg er $p$. $\mu$ er middelværdien og $\sigma$ er spredningen. Eksempel & Beregning En retfærdig terning kastes $10$ gange ($n=10$). Hvad er sandsynligheden for at få netop $2$ seksere ($p = 1/6$, $k = 2$)?$$P(X = 2) = \binom{10}{2} \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^2 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^8 = 45 \cdot 0{,}02778 \cdot 0{,}23257 \approx 0{,}2907 = 29{,}07\%$$ Formelomskrivninger & Isolering P(X=r) P(X=r) = K(n,r)\cdot p^{r} \cdot (1-p)^{n-r} Binomialfordeling Træn denne formel (2 opgaver) Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere Sandsynlighed & Statistik UVM (142) Grundformel Fakultet og permutationer n!=n(n-1)\cdots2\cdot1,\quad0!=1 $n!$ er produktet af de positive heltal fra $1$ til $n$ og tæller bl.a. rækkefølger af $n$ forskellige elementer. Eksempel & Beregning Fem forskellige bøger kan stilles på række på:$$5!=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=120$$måder. Typiske faldgruber & misforståelser Fakultet vokser hurtigt. $0!=1$ pr. definition, og rækkefølgen skal være relevant ved permutationer. Træn denne formel (2 opgaver) Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere Sandsynlighed & Statistik UVM (143) Grundformel Kombinationer \binom nr=\frac{n!}{r!(n-r)!} $\binom nr$ er antallet af måder at vælge $r$ elementer blandt $n$, når rækkefølgen ikke betyder noget. Eksempel & Beregning Vælg $3$ elever blandt $8$:$$\binom83=\frac{8!}{3!5!}=56$$ Typiske faldgruber & misforståelser $r$ skal ligge mellem $0$ og $n$. Brug ikke kombinationer, når rækkefølgen har betydning. Træn denne formel (2 opgaver) Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere Sandsynlighed & Statistik UVM (133) Grundformel Middelværdi \bar x=\frac{\text{summen af observationerne}}{\text{antal observationer}} Middelværdien er summen af observationerne divideret med antallet $n$. Ved frekvenser kan den beregnes som $\sum f_ix_i$. Eksempel & Beregning For observationerne $2,4,4,10$:$$\bar x=\frac{2+4+4+10}{4}=5$$ Typiske faldgruber & misforståelser Divider med antallet af observationer, ikke antallet af forskellige værdier. Frekvenser skal medregnes. Formelomskrivninger & Isolering Observationer \bar x=\frac{x_1+\cdots+x_n}{n} Samme gennemsnit skrevet med variable. Hyppigheder \bar x=\frac{\sum h_i x_i}{n},\quad n=\sum h_i Vægtet gennemsnit: hver observation tæller med sin hyppighed. Frekvenser \bar x=\sum f_i x_i Frekvenserne skrives som decimaltal og summerer til 1. 4.-6. kl. 7.-9. kl. 10. kl. Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere Sandsynlighed & Statistik UVM (134) Grundformel Varians og spredning \sigma^2=\frac1n\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2,\quad\sigma=\sqrt{\sigma^2} Variansen $\sigma^2$ er den gennemsnitlige kvadrerede afstand til middelværdien. Spredningen $\sigma$ er kvadratroden af variansen. Eksempel & Beregning For $2,4,6$ er $\bar x=4$:$$\sigma^2=\frac{(2-4)^2+(4-4)^2+(6-4)^2}{3}=\frac83$$$$\sigma=\sqrt{\frac83}\approx1{,}63$$ Typiske faldgruber & misforståelser Afvigelserne skal kvadreres. Skeln mellem populationsformlen med $n$ og en stikprøveformel med $n-1$. Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere Sandsynlighed & Statistik UVM (129) Grundformel Kvartilbredde og outliers \mathrm{IQR}=Q_3-Q_1 Kvartilbredden IQR er afstanden mellem kvartilerne. En almindelig outlierregel bruger grænserne $Q_1-1{,}5\,\mathrm{IQR}$ og $Q_3+1{,}5\,\mathrm{IQR}$. Eksempel & Beregning Hvis $Q_1=10$ og $Q_3=18$, er $\mathrm{IQR}=8$. Grænserne er:$$10-1{,}5\cdot8=-2,\quad18+1{,}5\cdot8=30$$Værdien $34$ er derfor en outlier. Typiske faldgruber & misforståelser En outlier er ikke automatisk en fejl. UVM-referencen dækker kvartilbredden; 1,5-IQR-reglen har ikke et særskilt nummer i registeret. 7.-9. kl. 10. kl. Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere Sandsynlighed & Statistik UVM (130-132) Grundformel Kvartilsæt og boksplot (Q_1,m,Q_3) Kvartilsættet består af nedre kvartil $Q_1$, medianen $m$ og øvre kvartil $Q_3$. Det vises sammen med minimum og maksimum i et boksplot. Eksempel & Beregning For det sorterede datasæt $1,2,3,4,5,6,7$ er:$$Q_1=2,\quad m=4,\quad Q_3=6$$ Typiske faldgruber & misforståelser Sorter data først. Vær konsekvent med den valgte konvention, når halvdelene har et ulige antal observationer. 7.-9. kl. 10. kl. Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere Sandsynlighed & Statistik UVM (120-121) Grundformel Absolut og relativ afvigelse \Delta y=y_{\mathrm{obs}}-y_{\mathrm{model}},\quad r=\frac{y_{\mathrm{obs}}-y_{\mathrm{model}}}{y_{\mathrm{model}}} Den absolutte afvigelse (residualet) er observeret værdi minus modelværdi og kan være negativ. Den relative afvigelse sammenligner med modelværdien. Eksempel & Beregning $$y_{\mathrm{obs}}=12,\ y_{\mathrm{model}}=10\Rightarrow\Delta y=2,\ r=0{,}2=20\%$$ Typiske faldgruber & misforståelser Absolut afvigelse betyder her en forskel med fortegn, ikke en numerisk værdi. Relativ afvigelse kræver $y_{\mathrm{model}}\ne0$. Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere Sandsynlighed & Statistik UVM (115) Grundformel Lineær regression \hat y=ax+b Lineær regression tilpasser en ret linje til datapunkter ved mindste kvadraters metode. $\hat y$ er modellens forventede værdi. Eksempel & Beregning En regression giver $\hat y=2{,}5x+1{,}2$. Ved $x=4$ forudsiger modellen:$$\hat y=2{,}5\cdot4+1{,}2=11{,}2$$ Typiske faldgruber & misforståelser En regressionslinje beskriver en tendens og behøver ikke gå gennem datapunkterne. Ekstrapolation skal vurderes kritisk. Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere Sandsynlighed & Statistik UVM (164, 171-173) Grundformel Normalfordeling & 68-95-99,7 % reglen X \sim N(\mu,\sigma), \quad P(\mu-\sigma \leq X \leq \mu+\sigma) \approx 68\%, \quad P(\mu-2\sigma \leq X \leq \mu+2\sigma) \approx 95\%, \quad P(\mu-3\sigma \leq X \leq \mu+3\sigma) \approx 99{,}7\% Normalfordelingen (Gauss-fordelingen) er en symmetrisk, klokkeformet kontinuert sandsynlighedsfordeling bestemt af middelværdien $\mu$ og spredningen $\sigma$. Den standardnormalfordelte variabel $Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0, 1)$. Eksempel & Beregning I en model antages højden af voksne mænd at være normalfordelt med $\mu = 180\text{ cm}$ og $\sigma = 7\text{ cm}$. Cirka $95{,}45\%$ af mændene har en højde i intervallet:$$[180 - 2 \cdot 7 \, ; \, 180 + 2 \cdot 7] = [166\text{ cm} \, ; \, 194\text{ cm}]$$ Typiske faldgruber & misforståelser En tæthed er ikke en sandsynlighed; sandsynligheder er arealer under tæthedskurven. Intervallet $\mu\pm2\sigma$ beskriver cirka 95 % af observationerne, ikke et konfidensinterval for middelværdien. Her betegner $\sigma$ spredningen. Gym A Lærerudd. Læs mere Sandsynlighed & Statistik Grundformel Forklaringsgrad R^2=1-\frac{\sum(y_i-\hat y_i)^2}{\sum(y_i-\bar y)^2} Ved lineær regression med konstantled beskriver $R^2$, hvor stor en del af variationen omkring gennemsnittet modellen forklarer. Eksempel & Beregning $$\sum(y_i-\hat y_i)^2=8,\quad\sum(y_i-\bar y)^2=40\Rightarrow R^2=0{,}8$$ Typiske faldgruber & misforståelser Residualets fortegn afhænger af rækkefølgen observeret minus forventet. Et højt $R^2$ beviser ikke, at modellen er årsagssammenhængende. Formlen kræver variation i de observerede $y$-værdier. Fortolkningen som forklaret andel gælder ikke automatisk for enhver model. Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere Sandsynlighed & Statistik UVM (153-154) Grundformel Sandsynlighed ved lige store chancer P(A)=\frac{\text{antal gunstige udfald}}{\text{antal mulige udfald}} Formlen gælder, når alle udfald er lige sandsynlige. Hændelsen $A$ består af de gunstige udfald. Eksempel & Beregning En fair terning har tre lige tal blandt seks mulige: $$P(\text{lige})=3/6=0{,}5=50\%$$ Typiske faldgruber & misforståelser Antal gunstige/mulige må kun bruges direkte, når de enkelte udfald har samme sandsynlighed. 4.-6. kl. 7.-9. kl. 10. kl. Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere Sandsynlighed & Statistik Grundformel Eksperimentel sandsynlighed \widehat P(A)=\frac{h(A)}n $h(A)$ er antallet af gange hændelsen ses i $n>0$ forsøg. Frekvensen er et skøn over sandsynligheden. Eksempel & Beregning En hændelse ses 23 gange i 100 forsøg: $$\widehat P(A)=23/100=0{,}23$$ Typiske faldgruber & misforståelser Et skøn fra forsøg er ikke en eksakt sandsynlighed. Flere forsøg mindsker normalt de tilfældige udsving. 4.-6. kl. 7.-9. kl. 10. kl. Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere Sandsynlighed & Statistik Grundformel Komplementær hændelse P(\overline A)=1-P(A) Komplementet til $A$ er hændelsen, at $A$ ikke sker. Tilsammen dækker de alle udfald. Eksempel & Beregning $$P(A)=0{,}35\Rightarrow P(\overline A)=0{,}65$$ Typiske faldgruber & misforståelser Sandsynligheder skrives enten som decimaltal med sum 1 eller som procenter med sum 100 %. 7.-9. kl. 10. kl. Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere Sandsynlighed & Statistik Grundformel Hyppighed og frekvens f_i=\frac{h_i}{n},\quad n=\sum h_i Hyppigheden $h_i$ er antallet af forekomster. Frekvensen $f_i$ er deres andel af alle observationer. Eksempel & Beregning 6 af 24 elever vælger cykel: $$f=6/24=0{,}25=25\%$$ Typiske faldgruber & misforståelser Hyppighed er et antal; frekvens er en andel. Summerede frekvenser giver kun mening for ordnede værdier eller intervaller. Formelomskrivninger & Isolering Summeret frekvens F_i=f_1+\cdots+f_i Andelen til og med den pågældende værdi eller øvre intervalgrænse. 4.-6. kl. 7.-9. kl. 10. kl. Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere Sandsynlighed & Statistik Grundformel Typetal \text{typetal}=\text{den eller de hyppigste værdier} Typetallet findes ved at sammenligne observationernes hyppigheder. Eksempel & Beregning I datasættet $1,2,2,3,4$ er typetallet $2$, fordi det forekommer to gange. Typiske faldgruber & misforståelser Der kan være flere typetal. Typetal, median og gennemsnit beskriver forskellige ting. 4.-6. kl. 7.-9. kl. 10. kl. Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere Sandsynlighed & Statistik UVM (128) Grundformel Variationsbredde VB=x_{\max}-x_{\min} Variationsbredden er forskellen mellem den største og mindste observation. Eksempel & Beregning For $2,4,4,10$ fås $$VB=10-2=8$$ Typiske faldgruber & misforståelser Variationsbredde bruger yderpunkterne. Kvartilbredde bruger derimod nedre og øvre kvartil. 4.-6. kl. 7.-9. kl. 10. kl. Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere Sandsynlighed & Statistik Grundformel Vinkel i et cirkeldiagram v=360^\circ f Frekvensen $f$ angives som decimaltal. Hele cirklen svarer til frekvensen 1. Eksempel & Beregning $$f=0{,}30\Rightarrow v=360^\circ\cdot0{,}30=108^\circ$$ Typiske faldgruber & misforståelser Brug $0{,}30$, ikke $30$, for 30 %. Alle sektorvinkler skal tilsammen give 360°. 4.-6. kl. 7.-9. kl. 10. kl. Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere Sandsynlighed & Statistik Grundformel Middelværdi af grupperede data \bar x\approx\sum f_i m_i,\quad m_i=\frac{a_i+b_i}{2} $m_i$ er intervalmidtpunktet i intervallet med grænser $a_i,b_i$, og $f_i$ er intervalfrekvensen. Eksempel & Beregning Intervaller med midtpunkter 5 og 15 har frekvenser 0,4 og 0,6: $$\bar x\approx0{,}4\cdot5+0{,}6\cdot15=11$$ Typiske faldgruber & misforståelser Det er et skøn, fordi de enkelte værdier inde i intervallerne ikke kendes. 7.-9. kl. 10. kl. Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere Sandsynlighed & Statistik UVM (135-136) Grundformel Histogram \text{søjlehøjde}=\frac{\text{intervalfrekvens}}{\text{intervalbredde}} Søjlernes arealer viser intervalfrekvenserne. Ved lige brede intervaller kan man vælge en skala, hvor højderne viser frekvenserne direkte. Eksempel & Beregning Et interval med bredde 5 og frekvens 0,20 får højden $0{,}20/5=0{,}04$. Arealet er $5\cdot0{,}04=0{,}20$. Typiske faldgruber & misforståelser Ved forskellige intervalbredder må søjlehøjderne ikke blot sættes lig frekvenserne. 7.-9. kl. 10. kl. Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere Sandsynlighed & Statistik UVM (137-139) Grundformel Sumkurve og fraktiler F(x_p)=\frac p{100} En sumkurve viser summeret frekvens ved de øvre intervalgrænser. $p$ %-fraktilen aflæses ved frekvensen $p/100$. Kvartilerne svarer til 25 %, 50 % og 75 %. Ved lige linjestykker antages jævn fordeling i hvert interval. Eksempel & Beregning En sumkurve går gennem $(10;0{,}20)$ og $(20;0{,}60)$. Ved lineær interpolation er medianen $10+\frac{0{,}50-0{,}20}{0{,}60-0{,}20}\cdot10=17{,}5$. Typiske faldgruber & misforståelser Aflæs på den summerede frekvensakse. Fraktiler fra grupperede data er skøn og kan afvige fra fraktilerne i rådata. 7.-9. kl. 10. kl. Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere Sandsynlighed & Statistik UVM (140-141) Grundformel Kombinatorikkens tælleprincipper \text{enten-eller}:m+n,\qquad\text{både-og}:m\cdot n Læg antal sammen ved valg mellem to adskilte muligheder. Gang antal ved valg i to trin, hvis hvert valg i første trin kan kombineres med alle valg i andet. Eksempel & Beregning 3 trøjer og 2 bukser giver $3\cdot2=6$ sæt. Typiske faldgruber & misforståelser Overlappende muligheder må ikke tælles dobbelt. Antallet af valg i andet trin skal gælde for hvert valg i første trin. Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere Sandsynlighed & Statistik UVM (151) Grundformel Disjunkte hændelser P(A\cup B)=P(A)+P(B) Hændelser er disjunkte, når de ikke kan ske samtidig. Eksempel & Beregning På en fair terning er hændelserne 1 og 6 disjunkte: $$P(1\text{ eller }6)=1/6+1/6=1/3$$ Typiske faldgruber & misforståelser Reglen uden korrektion gælder kun uden fælles udfald. Disjunkt er ikke det samme som uafhængig. Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere Sandsynlighed & Statistik UVM (152) Grundformel Uafhængige hændelser P(A\cap B)=P(A)P(B) Hændelser er uafhængige, når viden om den ene ikke ændrer sandsynligheden for den anden. Eksempel & Beregning To uafhængige kast med en fair mønt: $$P(\text{to plat})=\tfrac12\cdot\tfrac12=\tfrac14$$ Typiske faldgruber & misforståelser Udtræk uden tilbagelægning er normalt afhængige. Gangereglen i denne form kræver uafhængighed. Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere Sandsynlighed & Statistik UVM (155-156) Grundformel Middelværdi af en stokastisk variabel \mu=E(X)=\sum x_i p_i $X$ antager værdierne $x_i$ med sandsynligheder $p_i$, som summerer til 1. Middelværdien er det forventede gennemsnit over mange gentagelser. Eksempel & Beregning $$P(X=0)=0{,}75,\ P(X=4)=0{,}25\Rightarrow E(X)=1$$ Typiske faldgruber & misforståelser Middelværdien behøver ikke være en mulig enkeltværdi. Brug sandsynligheder som vægte. Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere Sandsynlighed & Statistik UVM (157-158) Grundformel Varians af en stokastisk variabel \operatorname{Var}(X)=\sum(x_i-\mu)^2p_i,\quad\sigma=\sqrt{\operatorname{Var}(X)} Variansen er den forventede kvadrerede afstand til middelværdien. Spredningen har samme enhed som $X$. Eksempel & Beregning For $P(X=0)=0{,}75$ og $P(X=4)=0{,}25$ er $\mu=1$:$$\operatorname{Var}(X)=1\cdot0{,}75+9\cdot0{,}25=3,\quad\sigma=\sqrt3$$ Typiske faldgruber & misforståelser Vægt hvert bidrag med sandsynligheden. Dette er ikke stikprøveformlen med nævner $n-1$. Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere Sandsynlighed & Statistik UVM s. 39 Grundformel Tosidet binomialtest H_0:p=p_0,\quad X\sim b(n,p_0) Ved signifikansniveau 5 % er et observeret antal $k$ kritisk, hvis $P(X\le k)\le0{,}025$ eller $P(X\ge k)\le0{,}025$. Nulhypotesen forkastes i det kritiske område; ellers forkastes den ikke. Eksempel & Beregning For $n=10$ og $p_0=0{,}5$ er $P(X\le1)=11/1024\approx1{,}07\%$, mens $P(X\le2)\approx5{,}47\%$. Kritisk område er derfor $\{0,1,9,10\}$. Typiske faldgruber & misforståelser Brug halernes sandsynligheder, ikke kun $P(X=k)$. At en hypotese ikke forkastes, er ikke et bevis for den. Forsøgene skal være uafhængige med samme succes-sandsynlighed under $H_0$. Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere Sandsynlighed & Statistik Grundformel Geometrisk fordeling P(X = k) = (1-p)^{k-1} \cdot p \quad , \quad P(X > k) = (1-p)^{k} \quad , \quad \mu = \frac{1}{p} \quad , \quad \sigma = \frac{\sqrt{1-p}}{p} Beskriver sandsynligheden for, at den første succes indtræffer i forsøg nummer $k$, når uafhængige forsøg gentages med samme succes-sandsynlighed $p$. Der skal gå $k-1$ mislykkede forsøg forud, og derefter komme en succes. $\mu = \frac{1}{p}$ er det forventede antal forsøg, og $P(X > k)$ er sandsynligheden for slet ingen succes i de første $k$ forsøg. Eksempel & Beregning En terning kastes, indtil der kommer en sekser ($p = \frac{1}{6}$). Hvad er sandsynligheden for, at den første sekser først kommer i $4$. kast ($k = 4$)?$$P(X = 4) = \left(\frac{5}{6}\right)^{3} \cdot \frac{1}{6} = \frac{125}{1296} \approx 0{,}0965 = 9{,}65\%$$I gennemsnit kræves $\mu = \frac{1}{1/6} = 6$ kast. Typiske faldgruber & misforståelser Der findes to udgaver af fordelingen. Tæller $X$ antallet af forsøg til og med den første succes, er $k = 1, 2, 3, \ldots$ og $\mu = \frac{1}{p}$. Tæller $X$ derimod antallet af mislykkede forsøg før den første succes, er $k = 0, 1, 2, \ldots$ og $\mu = \frac{1-p}{p}$. Fordelingen er hukommelsesløs: en lang række mislykkede forsøg ændrer ikke sandsynligheden for succes i det næste forsøg. Gym A Lærerudd. Læs mere Talsystemer & Talteori Grundformel Primfaktoropløsning n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k} Et positivt heltal større end $1$ kan skrives entydigt som et produkt af primtal, når rækkefølgen ses bort fra. Eksempel & Beregning $$360=36\cdot10=(2^2\cdot3^2)(2\cdot5)=2^3\cdot3^2\cdot5$$ Typiske faldgruber & misforståelser $1$ er ikke et primtal. Opløsningen skal fortsætte, indtil alle faktorer er primtal. Træn denne formel (2 opgaver) 4.-6. kl. 7.-9. kl. Lærerudd. Læs mere Talsystemer & Talteori Grundformel Største fælles divisor og mindste fælles multiplum \operatorname{sfd}(a,b)\operatorname{mfm}(a,b)=ab $\operatorname{sfd}(a,b)$ er den største fælles divisor, og $\operatorname{mfm}(a,b)$ er det mindste positive fælles multiplum. Eksempel & Beregning For $a=12$ og $b=18$ er $\operatorname{sfd}=6$:$$\operatorname{mfm}(12,18)=\frac{12\cdot18}{6}=36$$ Typiske faldgruber & misforståelser Relationen bruges her for positive heltal. SFD og MFM må ikke forveksles. Træn denne formel (4 opgaver) 7.-9. kl. 10. kl. Lærerudd. Læs mere Talsystemer & Talteori Talsystemer & Baser (c_k c_{k-1} \dots c_1 c_0)_b = c_k \cdot b^k + c_{k-1} \cdot b^{k-1} + \dots + c_1 \cdot b^1 + c_0 \cdot b^0 Supplerende stof om talsystemer. I et positionssystem med grundtal (base) $b$ repræsenterer cifrenes positioner potenser af $b$. Vores titalssystem bruger base $10$. Det binære talsystem bruger base $2$, oktal bruger base $8$, og heksadecimalt bruger base $16$. Eksempel & Beregning Omregn tallet $10110_2$ til titalssystemet:$$10110_2 = 1 \cdot 2^4 + 0 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 0 \cdot 2^0 = 16 + 0 + 4 + 2 + 0 = 22_{10}$$ Træn denne formel (4 opgaver) 7.-9. kl. Gym A Lærerudd. Læs mere Ingen begreber eller formler matcher din søgning Prøv at vælge et andet niveau, en anden kategori eller søge efter et mere generelt stikord.
Funktioner & Vækst UVM (58, 61-64) Potensfunktion f(x)=bx^a Ved en potensfunktion vokser $y$ med en fast procent, når $x$ vokser med en fast procent. $a$ kaldes eksponenten eller elasticiteten. For $a=1$ fås proportionalitet, for $a=-1$ omvendt proportionalitet. Eksempel & Beregning Gennem punkterne $(2, 12)$ og $(4, 48)$ findes eksponenten:$$a = \frac{\log(48) - \log(12)}{\log(4) - \log(2)} = \frac{\log(4)}{\log(2)} = 2$$$$b = \frac{12}{2^2} = 3 \implies f(x) = 3x^2$$ Formelomskrivninger & Isolering a a=\frac{\log(y_2)-\log(y_1)}{\log(x_2)-\log(x_1)} To punkter med $x_1,x_2,y_1,y_2>0$ og $x_1e x_2$. b b=y_1/x_1^a Begyndelsesparameter fra et punkt. Relativ ændring 1+r_y=(1+r_x)^a Relativ ændring i $y$, når $x$ ændres relativt med $r_x>-1$. Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere
Funktioner & Vækst UVM (65, 67-71) Grundformel Andengradspolynomium og parabel f(x)=ax^2+bx+c\quad(a\ne0) Grafen for et andengradspolynomium er en parabel. Fortegnet på $a$ bestemmer, om grenene vender opad eller nedad, og $c$ er skæringen med $y$-aksen. Eksempel & Beregning For $f(x)=2x^2-4x+3$ er $a=2>0$, så parablen vender opad. Desuden er $f(0)=3$, så grafen skærer $y$-aksen i $(0,3)$. Typiske faldgruber & misforståelser $a$ må ikke være nul. Koefficienternes fortegn skal aflæses sammen med leddene. 10. kl. Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere
Funktioner & Vækst UVM (73) Grundformel Toppunkt for en parabel T=\left(-\frac b{2a},f\!\left(-\frac b{2a}\right)\right) Toppunktets $x$-koordinat er $-b/(2a)$, og $y$-koordinaten findes ved at indsætte den i forskriften. Eksempel & Beregning For $f(x)=x^2-6x+5$:$$x_T=-\frac{-6}{2\cdot1}=3$$$$y_T=f(3)=9-18+5=-4$$Altså er $T=(3,-4)$. Typiske faldgruber & misforståelser Husk minusset foran $b$. Beregn $y_T$ ved indsættelse for at undgå at blande diskriminantformlen ind. Formelomskrivninger & Isolering x_T x_T=-\frac{b}{2a} Toppunktets x-koordinat y_T y_T=f(x_T) Toppunktets y-koordinat Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere
Funktioner & Vækst UVM (76-77) Grundformel Ligefrem proportionalitet y=kx Forholdet $y/x$ er konstant for $x\ne0$. Grafen er en ret linje gennem begyndelsespunktet $(0,0)$. Eksempel & Beregning $$k=12,\ x=4\Rightarrow y=48$$ Typiske faldgruber & misforståelser En ret linje med et konstant tillæg er ikke ligefrem proportionalitet. Formelomskrivninger & Isolering k k=y/x Proportionalitetsfaktor for $xe0$. x x=y/k Find $x$ for $ke0$. 7.-9. kl. 10. kl. Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere
Funktioner & Vækst UVM (78-79) Grundformel Omvendt proportionalitet y=\frac kx,\quad xy=k Produktet af $x$ og $y$ er konstant. Her er $x\ne0$ og $k\ne0$. Når $x$ fordobles, halveres $y$. Eksempel & Beregning Et areal er 24: $$x=3\Rightarrow y=8;\quad x=6\Rightarrow y=4$$ Typiske faldgruber & misforståelser Omvendt proportionalitet er ikke det samme som en aftagende ret linje. Formelomskrivninger & Isolering x x=k/y For $ye0$. 7.-9. kl. 10. kl. Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere
Funktioner & Vækst UVM (48-49) Grundformel Eksponentiel model gennem to punkter a=\left(\frac{y_2}{y_1}\right)^{\frac1{x_2-x_1}},\quad b=\frac{y_1}{a^{x_1}} Bestem $a,b$ i $f(x)=ba^x$ fra to punkter med positive $y$-værdier og forskellige $x$-værdier. Eksempel & Beregning $$ (x_1,y_1)=(0,100),\ (x_2,y_2)=(2,121)\Rightarrow a=\sqrt{121/100}=1{,}1,\ b=100$$ Typiske faldgruber & misforståelser Brug samme punktrækkefølge i brøken og eksponentens nævner. Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere
Funktioner & Vækst UVM (74) Grundformel Faktorisering af andengradspolynomium f(x)=a(x-x_1)(x-x_2) Et andengradspolynomium med $a\ne0$ og reelle rødder $x_1,x_2$ kan skrives som et produkt. En dobbeltrod tælles to gange. Eksempel & Beregning $$x^2+x-6=(x-2)(x+3)$$Rødderne er 2 og $-3$. Typiske faldgruber & misforståelser Bevar faktoren $a$ og minusset foran hver rod. Et polynomium uden reelle rødder kan ikke faktoriseres sådan over de reelle tal. Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere
Rentesregning & Finans UVM (5) Grundformel Kapitalfremskrivning (Rentesrente) K_n = K_0 \cdot (1+r)^n $K_0$ er startkapitalen, $r$ er rentesatsen pr. termin (angivet som decimaltal, fx $0{,}04$ for $4\%$), $n$ er antallet af terminer, og $K_n$ er slutkapitalen. Eksempel & Beregning Man indsætter $5.000\text{ kr.}$ på en konto til $3\%$ p.a. i $5$ år:$$K_5 = 5.000 \cdot (1 + 0{,}03)^5 = 5.000 \cdot 1{,}159274 = 5.796{,}37\text{ kr.}$$ Typiske faldgruber & misforståelser Skriv renten som decimaltal. Rente og antal terminer skal bruge samme tidsenhed. Formlen gælder et engangsindskud uden ekstra ind- eller udbetalinger; her er $K_0>0$ og $r>-1$. Formelomskrivninger & Isolering K_0 K_0=\frac{K_n}{(1+r)^n} Find startkapitalen. r r=\sqrt[n]{K_n/K_0}-1 Find terminsrenten for positive kapitaler og $n>0$. Træn denne formel (2 opgaver) 7.-9. kl. 10. kl. Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere
Rentesregning & Finans UVM (1-4) Grundformel Procentvis ændring og fremskrivning r=\frac{S-B}{B},\quad S=B(1+r) $B$ er begyndelsesværdien, $S$ slutværdien og $r$ ændringen som decimaltal. Fremskrivningsfaktoren er $1+r$. Eksempel & Beregning En pris stiger fra $400\text{ kr.}$ til $460\text{ kr.}$:$$r=\frac{460-400}{400}=0{,}15=15\%$$Kontrol: $400(1+0{,}15)=460\text{ kr.}$ Typiske faldgruber & misforståelser Divider med begyndelsesværdien. Procent og decimaltal må ikke blandes i fremskrivningsformlen. 7.-9. kl. 10. kl. Gym C Gym B Lærerudd. Læs mere
Rentesregning & Finans UVM (6) Grundformel Opsparingsannuitet A = b \cdot \frac{(1+r)^n - 1}{r} Beregn kapitalen $A$ umiddelbart efter den sidste af $n$ faste terminsindbetalinger $b$ ved terminsrenten $r$. Eksempel & Beregning Der indbetales $b=1.000\text{ kr.}$ hver måned i $2$ år ($n=24$) til en månedlig rente på $0{,}5\%$ ($r=0{,}005$):$$A = 1.000 \cdot \frac{(1+0{,}005)^{24} - 1}{0{,}005} \approx 25.432\text{ kr.}$$ Typiske faldgruber & misforståelser Renten er pr. termin og skrives som decimaltal. Brug samme termin for rente og indbetaling. Formlen gælder betaling ved slutningen af hver termin. Ved $r=0$ bruges $A=nb$. Formelomskrivninger & Isolering b b=\frac{Ar}{(1+r)^n-1} Terminsindbetaling for $re0$ og $n>0$. Træn denne formel (2 opgaver) Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere
Rentesregning & Finans UVM (7) Grundformel Gældsannuitet & Låneydelse y = G \cdot \frac{r}{1 - (1+r)^{-n}} \quad , \quad G = y \cdot \frac{1 - (1+r)^{-n}}{r} Beregner den faste terminsydelse $y$ ved tilbagebetaling af et lån med hovedstol $G$ over $n$ terminer med terminsrente $r$. Eksempel & Beregning Et lån på $100.000\text{ kr.}$ afdrages over $10$ år ($10$ årlige terminer) til $4\%$ i rente ($r = 0{,}04$):$$y = 100.000 \cdot \frac{0{,}04}{1 - (1+0{,}04)^{-10}} = 100.000 \cdot \frac{0{,}04}{1 - 0{,}67556} = 12.329\text{ kr./år}$$ Typiske faldgruber & misforståelser Renten er pr. termin og skrives som decimaltal. Brug samme termin for rente og indbetaling. Formlen gælder betaling ved slutningen af hver termin. Ved $r=0$ bruges $y=G/n$. Træn denne formel (2 opgaver) Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere
Rentesregning & Finans Grundformel Procentdel p=\frac{\text{del}}{\text{helhed}}\cdot100\% Procentdelen $p$ angiver, hvor mange hundrededele delen udgør af helheden. Eksempel & Beregning Der er $12$ røde kugler blandt $48$ kugler:$$p=\frac{12}{48}\cdot100\%=25\%$$ Typiske faldgruber & misforståelser Delen og helheden må ikke byttes om. Denne formel har ikke et særskilt match i det analyserede STX-register. 4.-6. kl. 7.-9. kl. 10. kl. Gym C Gym B Lærerudd. Læs mere
Rentesregning & Finans UVM (5) Grundformel Antal terminer ved rentesrente n=\frac{\log(K_n/K_0)}{\log(1+r)} Isolering af antal terminer i kapitalformlen. Kapitalerne er positive, $r>-1$, og $r\ne0$. Eksempel & Beregning $$K_0=1000,\ K_n=2000,\ r=0{,}10\Rightarrow n=\frac{\log2}{\log1{,}10}\approx7{,}27$$Ved årlig rentetilskrivning er kapitalen mindst fordoblet efter 8 hele år. Typiske faldgruber & misforståelser Et negativt resultat betyder, at målet ligger bagud i modellen. Rund kun op, når der spørges om hele terminer til mindst en bestemt kapital. Ved $r=0$ vokser kapitalen ikke. Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere
Differential- & Integralregning Stedvektor og hastighedsvektor \vec{r}=\binom{x(t)}{y(t)},\quad\vec v(t)=\vec{r}'(t)=\binom{x'(t)}{y'(t)} Supplerende stof. Stedvektoren angiver positionen til tiden $t$. Hastighedsvektoren fås ved at differentiere komponentvis. Eksempel & Beregning For $\vec{r}=(t^2,3t)$ fås:$$\vec v(t)=(2t,3)$$Ved $t=2$ er $\vec v(2)=(4,3)$. Typiske faldgruber & misforståelser Begge komponenter skal differentieres. Hastighedsvektoren er ikke det samme som farten, der er dens længde. Gym A Lærerudd. Læs mere
Differential- & Integralregning UVM (261-275) Grundformel Afledte af standardfunktioner \begin{aligned}(k)'&=0&(x^n)'&=nx^{n-1}\\(e^{kx})'&=ke^{kx}&(a^x)'&=a^x\ln(a)\\(\ln x)'&=\frac1x&(\sqrt x)'&=\frac1{2\sqrt x}\\(1/x)'&=-\frac1{x^2}&(\sin x)'&=\cos x\\(\cos x)'&=-\sin x\end{aligned} Formlerne bruges til at differentiere standardfunktioner. Den afledte beskriver funktionens øjeblikkelige væksthastighed. De trigonometriske regler bruger radianer. For $a^x$ kræves $a>0$; for $\ln x$ og den viste afledte af $\sqrt x$ kræves $x>0$; for $1/x$ kræves $x\ne0$. Potensreglen bruges, hvor udtrykkene er definerede. Eksempel & Beregning Differentier $f(x)=3x^4-5x^2+7x-9$:$$f'(x)=12x^3-10x+7$$ Typiske faldgruber & misforståelser Konstante led giver nul. Produktreglen hører til det særskilte kort med produkt-, kvotient- og kædereglen. Formelomskrivninger & Isolering Konstant faktor (kf)'=kf' Konstanten bevares. Sum og differens (f\pm g)'=f'\pm g' Differentier led for led. Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere
Differential- & Integralregning UVM (254) Grundformel Tangentens ligning y = f'(x_0) \cdot (x - x_0) + f(x_0) Ligningen for tangenten til grafen for $f$ i røringspunktet $(x_0, f(x_0))$, hvor tangentens hældning er $a = f'(x_0)$. Eksempel & Beregning Bestem tangentligningen for $f(x) = x^2$ i punktet $x_0 = 3$:$$f(3) = 3^2 = 9$$$$f'(x) = 2x \implies f'(3) = 2 \cdot 3 = 6$$$$y = 6 \cdot (x - 3) + 9 = 6x - 18 + 9 = 6x - 9$$ Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere
Differential- & Integralregning UVM (296, 302-304) Grundformel Bestemt integral og areal under graf \int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a) Det bestemte integral findes ved en stamfunktion $F$. Hvis $f(x)\ge0$ på intervallet, er integralet arealet under grafen. Eksempel & Beregning For $f(x)=3x^2$ fra $x=1$ til $x=3$:$$\int_1^3 3x^2\,dx=[x^3]_1^3=27-1=26$$ Typiske faldgruber & misforståelser Et bestemt integral er fortegnet. Ligger grafen under $x$-aksen, er integralet ikke direkte et positivt areal. Gym A Lærerudd. Læs mere
Differential- & Integralregning UVM (285, 291) Grundformel Stamfunktion og ubestemt integral \int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+k\quad(n\ne-1) En stamfunktion $F$ til $f$ opfylder $F'(x)=f(x)$. Konstanten $k$ medtager alle stamfunktioner. Eksempel & Beregning $$\int 3x^2\,dx=x^3+k$$Kontrol: $(x^3+k)'=3x^2$. Typiske faldgruber & misforståelser Integrationskonstanten $k$ må ikke glemmes i et ubestemt integral. Potensreglen gælder ikke for $n=-1$. Gym A Lærerudd. Læs mere
Differential- & Integralregning UVM (276) Grundformel Produktreglen (fg)'=f' g+fg' Et produkt differentieres ved at differentiere én faktor ad gangen og lægge de to bidrag sammen. Eksempel & Beregning $$h(x)=x^2e^x\Rightarrow h'(x)=2xe^x+x^2e^x$$ Typiske faldgruber & misforståelser Det er ikke nok at gange de to afledte: $(fg)'\ne f' g'$. Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere
Differential- & Integralregning UVM (256-260) Grundformel Monotoniforhold & Lokale ekstrema f'(x) > 0 \implies f \text{ er voksende}, \quad f'(x) < 0 \implies f \text{ er aftagende}, \quad +\!\to\!- \implies \text{lokalt maksimum}, \quad -\!\to\!+ \implies \text{lokalt minimum} Undersøg fortegnet for $f'$ på intervaller. Skift fra plus til minus ved et stationært punkt giver lokalt maksimum; skift fra minus til plus giver lokalt minimum. Eksempel & Beregning For $f(x)=x^3-3x+2$ er $f'(x)=3(x-1)(x+1)$. Den afledte er positiv for $x<-1$, negativ for $-11$. Derfor er $(-1,4)$ lokalt maksimum og $(1,0)$ lokalt minimum. Typiske faldgruber & misforståelser Ligningen $f'(x)=0$ finder kandidater, men fortegnsskiftet afgør typen. Undersøg også intervallets endepunkter, når du søger globalt største eller mindste værdi. Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere
Differential- & Integralregning UVM (304) Grundformel Areal mellem to grafer A=\int_a^b\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx\quad(f\ge g) Arealet mellem graferne findes som integralet af den øvre funktion minus den nedre funktion. Eksempel & Beregning Mellem $f(x)=x+2$ og $g(x)=x$ fra $0$ til $3$:$$A=\int_0^3 2\,dx=[2x]_0^3=6$$ Typiske faldgruber & misforståelser Kontrollér hvilken graf der ligger øverst. Skifter graferne plads, skal intervallet opdeles eller absolutværdien håndteres. Gym A Lærerudd. Læs mere
Differential- & Integralregning UVM (305-306) Grundformel Rumfang af omdrejningslegeme V=\pi\int_a^b f(x)^2\,dx Når grafen for en ikke-negativ funktion $f$ roteres om $x$-aksen, findes rumfanget ved skivemetoden. Eksempel & Beregning Rotér $f(x)=x$ om $x$-aksen fra $0$ til $2$:$$V=\pi\int_0^2x^2\,dx=\pi\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2=\frac{8\pi}{3}\approx8{,}38$$ Typiske faldgruber & misforståelser Funktionen skal kvadreres. Ved et hult legeme trækkes den indre radius i anden fra den ydre radius i anden. Formelomskrivninger & Isolering V_h V_h=\pi\int_a^b\left(f(x)^2-g(x)^2\right)dx Hult omdrejningslegeme Gym A Lærerudd. Læs mere
Differential- & Integralregning UVM (308) Grundformel Eksponentiel differentialligning y'=ky\Rightarrow y=ce^{kx} Når væksthastigheden er proportional med størrelsen selv, er løsningen eksponentiel. $k$ er proportionalitetskonstanten. Eksempel & Beregning Løs $y'=0{,}2y$ med $y(0)=5$:$$y=ce^{0{,}2x},\quad5=c$$$$y=5e^{0{,}2x}$$ Typiske faldgruber & misforståelser Fortegnet på $k$ afgør vækst eller fald. Begyndelsesbetingelsen skal bruges til at bestemme $c$. Gym A Lærerudd. Læs mere
Differential- & Integralregning UVM (309) Grundformel Forskudt eksponentiel vækst y'=b-ay\Rightarrow y=\frac ba+ce^{-ax} For $a>0$ beskriver modellen tilnærmelse til ligevægten $b/a$. Konstanten $c$ bestemmes af begyndelsesbetingelsen. Eksempel & Beregning Løs $y'=6-2y$ med $y(0)=1$:$$y=3+ce^{-2x},\quad1=3+c\Rightarrow c=-2$$$$y=3-2e^{-2x}$$ Typiske faldgruber & misforståelser $a$ må ikke være nul i denne form. Ligevægtsværdien er $b/a$, og fortegnet i eksponenten er negativt. Gym A Lærerudd. Læs mere
Differential- & Integralregning UVM (310-311) Grundformel Logistisk differentialligning y'=y(b-ay)\Rightarrow y=\frac{b/a}{1+ce^{-bx}} Den logistiske model beskriver vækst, som bremses mod bærekapaciteten $b/a$. I vækstmodellen antages $a,b>0$ og positiv begyndelsesværdi under bærekapaciteten. Nulfunktionen $y=0$ er også en løsning; brøkformen bruges på intervaller uden nul i nævneren. Eksempel & Beregning For $y'=y(2-0{,}5y)$ er bærekapaciteten:$$M=\frac{b}{a}=\frac{2}{0{,}5}=4$$En løsning med $c=3$ er $y=\frac{4}{1+3e^{-2x}}$. Typiske faldgruber & misforståelser Bærekapaciteten er $b/a$, ikke $a/b$. Konstanten $c$ afhænger af begyndelsesværdien. Gym A Lærerudd. Læs mere
Differential- & Integralregning Kurvelængde for en vektorfunktion L=\int_a^b\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}\,dt Supplerende stof. Kurvelængden findes ved at integrere farten $|\vec{r}'(t)|$ over parameterintervallet. Eksempel & Beregning For $\vec r(t)=(3t,4t)$, $0\le t\le2$:$$L=\int_0^2\sqrt{3^2+4^2}\,dt=\int_0^2 5\,dt=10$$ Typiske faldgruber & misforståelser Det er de afledte komponenter, der skal kvadreres. Integrationsgrænserne er parameterværdier. Gym A Lærerudd. Læs mere
Differential- & Integralregning UVM (278) Grundformel Kvotientreglen \left(\frac fg\right)'=\frac{f' g-fg'}{g^2} Brug kvotientreglen til en brøk af to differentiable funktioner, hvor $g(x)\ne0$. Eksempel & Beregning $$h(x)=\frac{x}{x+1}\Rightarrow h'(x)=\frac{x+1-x}{(x+1)^2}=\frac1{(x+1)^2}$$ Typiske faldgruber & misforståelser Rækkefølgen i tælleren er vigtig. Hele nævneren kvadreres. Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere
Differential- & Integralregning UVM (277) Grundformel Kædereglen (f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x) Differentier den ydre funktion med den indre funktion urørt. Gang derefter med den indre funktions afledte. Eksempel & Beregning $$h(x)=(3x^2+5)^4\Rightarrow h'(x)=4(3x^2+5)^3\cdot6x$$ Typiske faldgruber & misforståelser Den indre afledte skal med. Den ydre afledte skal stadig beregnes i $g(x)$. Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere
Differential- & Integralregning Andenafledt-test for ekstrema f'(x_0)=0:\quad f''(x_0)>0\Rightarrow\text{lokalt minimum},\quad f''(x_0)<0\Rightarrow\text{lokalt maksimum} Supplerende metode til to gange differentiable funktioner. Find først et stationært punkt $x_0$ med $f'(x_0)=0$, og undersøg derefter fortegnet for $f''(x_0)$. Eksempel & Beregning Find ekstrema for $f(x) = x^3 - 3x + 2$: $$f'(x) = 3x^2 - 3 = 0 \iff x^2 = 1 \implies x = 1 \lor x = -1$$ $$f''(x) = 6x \implies f''(-1) = -6 < 0 \text{ (Maksimum i } (-1, 4)), \quad f''(1) = 6 > 0 \text{ (Minimum i } (1, 0))$$ Typiske faldgruber & misforståelser Hvis $f''(x_0)=0$, afgør testen ikke punktets type. Brug da fortegnet for $f'$ på hver side. Et stationært punkt er ikke altid et ekstremum. Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere
Vektorer & Analytisk Geometri UVM (209) Midtpunktsformlen M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) Midtpunktsformlen bruges til at beregne koordinaterne for midtpunktet $M$ på linjestykket mellem to punkter $A(x_1, y_1)$ og $B(x_2, y_2)$ i et koordinatsystem. Midtpunktets koordinater findes som gennemsnittet (middeltallet) af de to punkters $x$-koordinater og $y$-koordinater. Variabler: • $A(x_1, y_1)$: Startpunktets koordinater • $B(x_2, y_2)$: Slutpunktets koordinater • $M(x_M, y_M)$: Midtpunktets koordinater Eksempel & Beregning Find midtpunktet $M$ mellem punkterne $A(2, 3)$ og $B(6, 7)$: 1. Beregn $x$-koordinaten: $x_M = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4$ 2. Beregn $y$-koordinaten: $y_M = \frac{3 + 7}{2} = \frac{10}{2} = 5$ Midtpunktets koordinater er $M(4, 5)$. Typiske faldgruber & misforståelser • Fortegnsfejl ved negative tal: Husk at lægge tallene sammen med fortegn, f.eks. $\frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1$ og $\frac{2 + (-4)}{2} = \frac{-2}{2} = -1$. • Forveksling med afstands- eller hældningsformlen: I midtpunktsformlen skal koordinaterne lægges sammen ($x_1 + x_2$), hvor man i afstands- og hældningsformlen trækker dem fra hinanden ($x_2 - x_1$). • Blanding af $x$ og $y$: Sørg for kun at lægge de to $x$-værdier sammen i første brøk og de to $y$-værdier i anden brøk. Formelomskrivninger & Isolering Find endepunkt ud fra midtpunkt x_2 = 2 \cdot x_M - x_1, \quad y_2 = 2 \cdot y_M - y_1 Hvis midtpunktet $M$ og punktet $A$ er kendt, kan koordinaterne til det ukendte endepunkt $B$ isoleres og findes således. CAS-kommandoer & Software GeoGebra Midtpunkt(A, B) WordMat M:=((x_1+x_2)/2 , (y_1+y_2)/2) TI-Nspire ( [x1, y1] + [x2, y2] ) / 2 Trekantsberegner Træn denne formel (2 opgaver) Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere
Vektorer & Analytisk Geometri UVM (181) Grundformel Vektorlængde |\vec a|=\sqrt{a_1^2+a_2^2} Længden af vektoren $\vec a=(a_1,a_2)$ findes med Pythagoras. Eksempel & Beregning For $\vec a=(3,4)$:$$|\vec a|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$$ Typiske faldgruber & misforståelser Komponenterne skal kvadreres før addition. Vektorlængden er altid ikke-negativ. Gym A Lærerudd. Læs mere
Vektorer & Analytisk Geometri UVM (190, 192-193) Grundformel Vektorer: Skalarprodukt & Vinkel \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(v) \quad , \quad \cos(v) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} Skalarproduktet (prikproduktet) af to 2D-vektorer. Vektorerne er ortogonale (vinkelrette), netop når $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$. Vinklen $v$ mellem to egentlige vektorer findes ud fra cosinusformlen. Eksempel & Beregning Givet $\vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$ og $\vec{b} = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \end{pmatrix}$:$$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 4 + 4 \cdot (-3) = 12 - 12 = 0$$Da skalarproduktet er $0$, er de to vektorer vinkelrette ($v = 90^\circ$). Typiske faldgruber & misforståelser Vinkelberegningen kræver to vektorer, der begge er forskellige fra nulvektoren. Skalarproduktet er et tal, ikke en vektor. Gym A Lærerudd. Læs mere
Vektorer & Analytisk Geometri UVM (183) Grundformel Afstand mellem to punkter |AB|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} Afstanden mellem $A(x_1,y_1)$ og $B(x_2,y_2)$ er længden af forbindelsesvektoren fra $A$ til $B$. Eksempel & Beregning For $A(1,2)$ og $B(4,6)$:$$|AB|=\sqrt{(4-1)^2+(6-2)^2}=\sqrt{25}=5$$ Typiske faldgruber & misforståelser Brug samme punktrækkefølge i begge koordinatforskelle. Hele forskellen skal kvadreres. Træn denne formel (2 opgaver) 7.-9. kl. 10. kl. Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere
Vektorer & Analytisk Geometri UVM (197-201) Grundformel Determinant for to vektorer \det(\vec a,\vec b)=a_1b_2-a_2b_1 Determinanten måler det orienterede areal udspændt af to vektorer. Determinanten er nul netop for parallelle vektorer. Eksempel & Beregning For $\vec a=(2,1)$ og $\vec b=(3,4)$:$$\det(\vec a,\vec b)=2\cdot4-1\cdot3=5$$ Typiske faldgruber & misforståelser Leddenes rækkefølge bestemmer fortegnet. Brug absolutværdien ved geometrisk areal. Formelomskrivninger & Isolering A A_{\mathrm{parallelogram}}=|\det(\vec a,\vec b)| Areal af parallelogram T T=\frac12|\det(\vec a,\vec b)| Areal af trekant Gym A Lærerudd. Læs mere
Vektorer & Analytisk Geometri UVM (196) Grundformel Tværvektor \hat{\vec a}=\begin{pmatrix}-a_2\\a_1\end{pmatrix} En tværvektor til $\vec a=(a_1,a_2)$ fås ved at bytte komponenterne og skifte fortegn på den første. Vektorerne er vinkelrette. Eksempel & Beregning For $\vec a=(3,4)$:$$\hat{\vec a}=(-4,3)$$Kontrol: $3\cdot(-4)+4\cdot3=0$. Typiske faldgruber & misforståelser Der findes to modsatrettede tværvektorer. Fortegnsskiftet må ikke glemmes. Gym A Lærerudd. Læs mere
Vektorer & Analytisk Geometri UVM (194-195) Grundformel Vektorer: Projektion af vektor på vektor \vec{a}_{\vec{b}} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2} \cdot \vec{b} \quad , \quad |\vec{a}_{\vec{b}}| = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{b}|} Projektionen $\vec{a}_{\vec{b}}$ er den vinkelrette projektion af $\vec{a}$ ned på $\vec{b}$. Resultatet er en vektor parallel med $\vec{b}$. Længden af projektionsvektoren beregnes som den numeriske værdi af skalarproduktet divideret med længden af $\vec{b}$. Eksempel & Beregning Givet $\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}$ og $\vec{b} = \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix}$:$$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 5 + 4 \cdot 1 = 9 \quad , \quad |\vec{b}|^2 = 5^2 + 1^2 = 26$$$$\vec{a}_{\vec{b}} = \frac{9}{26} \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 45/26 \\ 9/26 \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} 1{,}73 \\ 0{,}35 \end{pmatrix}$$ Typiske faldgruber & misforståelser Vektoren, der projiceres på, må ikke være nulvektoren. Projektionsvektoren kan pege modsat $\vec b$; længden er altid ikke-negativ. Formelomskrivninger & Isolering Længde |\vec{a}_{\vec{b}}| = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{b}|} Længde af projektionsvektor Gym A Lærerudd. Læs mere
Vektorer & Analytisk Geometri UVM (215) Grundformel Afstand fra punkt til linje \operatorname{dist}(P,l)=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} Formlen giver den vinkelrette afstand fra punktet $P(x_1,y_1)$ til linjen $l: ax+by+c=0$. Her skal $(a,b)\ne(0,0)$. Eksempel & Beregning Fra $P=(1,2)$ til $l:3x+4y-10=0$:$$\operatorname{dist}(P,l)=\frac{|3+8-10|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac15=0{,}2$$ Typiske faldgruber & misforståelser Linjen skal stå på formen $ax+by+c=0$. Absolutværdien i tælleren må ikke glemmes. Gym A Lærerudd. Læs mere
Vektorer & Analytisk Geometri UVM (212) Grundformel Linjens ligning på normalform ax+by+c=0 I normalformen er $(a,b)$ en normalvektor til linjen, og $c$ bestemmer placeringen. Her skal $(a,b)\ne(0,0)$. Eksempel & Beregning Linjen gennem $(2,1)$ med normalvektor $(3,-1)$ opfylder:$$3(x-2)-(y-1)=0$$$$3x-y-5=0$$ Typiske faldgruber & misforståelser $a$ og $b$ må ikke begge være nul. En retningsvektor er vinkelret på normalvektoren. Gym A Lærerudd. Læs mere
Vektorer & Analytisk Geometri UVM (219) Grundformel Cirkeltangent med normalvektor (x_0-a)(x-x_0)+(y_0-b)(y-y_0)=0 Tangenten i punktet $P=(x_0,y_0)$ er vinkelret på radiusvektoren fra cirklens centrum $C=(a,b)$ til $P$. Eksempel & Beregning Cirklen har centrum $(0,0)$ og $P=(3,4)$:$$3(x-3)+4(y-4)=0$$$$3x+4y-25=0$$ Typiske faldgruber & misforståelser Punktet $P$ skal ligge på cirklen. Radiusvektoren bruges som tangentens normalvektor. Gym A Lærerudd. Læs mere
Vektorer & Analytisk Geometri UVM (216) Grundformel Cirklens ligning (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 Ligningen beskriver en cirkel med centrum $C=(a,b)$ og radius $r$. Eksempel & Beregning For $(x-2)^2+(y+1)^2=25$ er centrum $C=(2,-1)$ og radius $r=\sqrt{25}=5$. Typiske faldgruber & misforståelser Fortegnene i centrum aflæses modsat parenteserne. Højresiden er $r^2$, ikke $r$. Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere
Vektorer & Analytisk Geometri Grundformel Midtpunkt i rummet M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \, \frac{y_1 + y_2}{2}, \, \frac{z_1 + z_2}{2} \right) Midtpunktets tre koordinater er gennemsnittene af endepunkternes tilsvarende koordinater. Eksempel & Beregning $$A=(0,2,4),\ B=(4,6,8)\Rightarrow M=(2,4,6)$$ Typiske faldgruber & misforståelser Læg koordinater sammen med fortegn. Bland ikke de tre koordinatretninger. Gym A Lærerudd. Læs mere
Vektorer & Analytisk Geometri UVM (210) Grundformel Linjens parameterfremstilling \binom{x}{y}=\binom{x_0}{y_0}+t\binom{r_1}{r_2} $(x_0,y_0)$ er et punkt på linjen, og $\vec r=(r_1,r_2)\ne\vec0$ er en retningsvektor. Parameteren $t$ løber gennem de reelle tal. Eksempel & Beregning $$\binom{x}{y}=\binom{2}{1}+t\binom{1}{3}\Rightarrow t=2:\ (x,y)=(4,7)$$ Typiske faldgruber & misforståelser Retningsvektoren skal følge linjen. En normalvektor står vinkelret på linjen. Gym A Lærerudd. Læs mere
Vektorer & Analytisk Geometri UVM (218) Grundformel Cirkeltangent og radius t\perp CP Tangenten $t$ i cirkelpunktet $P$ står vinkelret på radius fra centrum $C$. For to ikke-lodrette linjer er hældningernes produkt $-1$. Eksempel & Beregning På cirklen $x^2+y^2=25$ har radius til $P=(3,4)$ hældningen $4/3$. Tangenten er derfor $y-4=-\frac34(x-3)$. Typiske faldgruber & misforståelser Punktet skal ligge på cirklen. En vandret radius giver en lodret tangent og omvendt. Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere
Vektorer & Analytisk Geometri UVM (214) Grundformel Afstand til linjen y = ax + b \operatorname{dist}(P,l)=\frac{|ax_1+b-y_1|}{\sqrt{a^2+1}} Afstanden fra $P=(x_1,y_1)$ til linjen $l:y=ax+b$ måles vinkelret på linjen. Eksempel & Beregning $$P=(1,3),\ l:y=2x\Rightarrow d=\frac{|2-3|}{\sqrt5}=\frac1{\sqrt5}\approx0{,}45$$ Typiske faldgruber & misforståelser Formen gælder ikke lodrette linjer. Afstanden er ikke blot den lodrette forskel mellem punktet og grafen. Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere
Vektorer & Analytisk Geometri UVM (206-207) Grundformel Linje gennem et punkt y-y_0=a(x-x_0) Linjen går gennem $(x_0,y_0)$ og har hældningen $a$. Eksempel & Beregning $$a=3,\ (x_0,y_0)=(2,5)\Rightarrow y-5=3(x-2)\Rightarrow y=3x-1$$ Typiske faldgruber & misforståelser En lodret linje har formen $x=x_0$ og har ingen endelig hældningskoefficient. Formelomskrivninger & Isolering Lodret linje x=x_0 Alle punkter har samme $x$-koordinat. Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere
Vektorer & Analytisk Geometri UVM (203) Grundformel Hældningsvinkel a=\tan(v) $v$ er linjens hældningsvinkel med fortegn, målt fra $x$-aksen og valgt mellem $-90^\circ$ og $90^\circ$. Eksempel & Beregning $$a=1\Rightarrow v=\arctan(1)=45^\circ$$ Typiske faldgruber & misforståelser En lodret linje har ingen endelig hældning. Bevar fortegnet på en negativ hældning. Formelomskrivninger & Isolering v v=\arctan(a) Find hældningsvinklen. Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere
Vektorer & Analytisk Geometri UVM (208) Grundformel Vinkelrette linjer a_1a_2=-1 To linjer med endelige hældninger $a_1,a_2$ er vinkelrette, når produktet er $-1$. Eksempel & Beregning $$a_1=2\Rightarrow a_2=-\tfrac12$$ Typiske faldgruber & misforståelser En vandret og en lodret linje er også vinkelrette, men dette tilfælde kan ikke testes med to endelige hældninger. Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere
Sandsynlighed & Statistik UVM (159-163) Grundformel Binomialfordeling P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \quad , \quad \mu = n \cdot p \quad , \quad \sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} Beskriver sandsynligheden for at få netop $k$ succeser i $n$ uafhængige gentagelser af et eksperiment med to mulige udfald, hvor sandsynligheden for succes i hvert forsøg er $p$. $\mu$ er middelværdien og $\sigma$ er spredningen. Eksempel & Beregning En retfærdig terning kastes $10$ gange ($n=10$). Hvad er sandsynligheden for at få netop $2$ seksere ($p = 1/6$, $k = 2$)?$$P(X = 2) = \binom{10}{2} \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^2 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^8 = 45 \cdot 0{,}02778 \cdot 0{,}23257 \approx 0{,}2907 = 29{,}07\%$$ Formelomskrivninger & Isolering P(X=r) P(X=r) = K(n,r)\cdot p^{r} \cdot (1-p)^{n-r} Binomialfordeling Træn denne formel (2 opgaver) Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere
Sandsynlighed & Statistik UVM (142) Grundformel Fakultet og permutationer n!=n(n-1)\cdots2\cdot1,\quad0!=1 $n!$ er produktet af de positive heltal fra $1$ til $n$ og tæller bl.a. rækkefølger af $n$ forskellige elementer. Eksempel & Beregning Fem forskellige bøger kan stilles på række på:$$5!=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=120$$måder. Typiske faldgruber & misforståelser Fakultet vokser hurtigt. $0!=1$ pr. definition, og rækkefølgen skal være relevant ved permutationer. Træn denne formel (2 opgaver) Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere
Sandsynlighed & Statistik UVM (143) Grundformel Kombinationer \binom nr=\frac{n!}{r!(n-r)!} $\binom nr$ er antallet af måder at vælge $r$ elementer blandt $n$, når rækkefølgen ikke betyder noget. Eksempel & Beregning Vælg $3$ elever blandt $8$:$$\binom83=\frac{8!}{3!5!}=56$$ Typiske faldgruber & misforståelser $r$ skal ligge mellem $0$ og $n$. Brug ikke kombinationer, når rækkefølgen har betydning. Træn denne formel (2 opgaver) Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere
Sandsynlighed & Statistik UVM (133) Grundformel Middelværdi \bar x=\frac{\text{summen af observationerne}}{\text{antal observationer}} Middelværdien er summen af observationerne divideret med antallet $n$. Ved frekvenser kan den beregnes som $\sum f_ix_i$. Eksempel & Beregning For observationerne $2,4,4,10$:$$\bar x=\frac{2+4+4+10}{4}=5$$ Typiske faldgruber & misforståelser Divider med antallet af observationer, ikke antallet af forskellige værdier. Frekvenser skal medregnes. Formelomskrivninger & Isolering Observationer \bar x=\frac{x_1+\cdots+x_n}{n} Samme gennemsnit skrevet med variable. Hyppigheder \bar x=\frac{\sum h_i x_i}{n},\quad n=\sum h_i Vægtet gennemsnit: hver observation tæller med sin hyppighed. Frekvenser \bar x=\sum f_i x_i Frekvenserne skrives som decimaltal og summerer til 1. 4.-6. kl. 7.-9. kl. 10. kl. Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere
Sandsynlighed & Statistik UVM (134) Grundformel Varians og spredning \sigma^2=\frac1n\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2,\quad\sigma=\sqrt{\sigma^2} Variansen $\sigma^2$ er den gennemsnitlige kvadrerede afstand til middelværdien. Spredningen $\sigma$ er kvadratroden af variansen. Eksempel & Beregning For $2,4,6$ er $\bar x=4$:$$\sigma^2=\frac{(2-4)^2+(4-4)^2+(6-4)^2}{3}=\frac83$$$$\sigma=\sqrt{\frac83}\approx1{,}63$$ Typiske faldgruber & misforståelser Afvigelserne skal kvadreres. Skeln mellem populationsformlen med $n$ og en stikprøveformel med $n-1$. Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere
Sandsynlighed & Statistik UVM (129) Grundformel Kvartilbredde og outliers \mathrm{IQR}=Q_3-Q_1 Kvartilbredden IQR er afstanden mellem kvartilerne. En almindelig outlierregel bruger grænserne $Q_1-1{,}5\,\mathrm{IQR}$ og $Q_3+1{,}5\,\mathrm{IQR}$. Eksempel & Beregning Hvis $Q_1=10$ og $Q_3=18$, er $\mathrm{IQR}=8$. Grænserne er:$$10-1{,}5\cdot8=-2,\quad18+1{,}5\cdot8=30$$Værdien $34$ er derfor en outlier. Typiske faldgruber & misforståelser En outlier er ikke automatisk en fejl. UVM-referencen dækker kvartilbredden; 1,5-IQR-reglen har ikke et særskilt nummer i registeret. 7.-9. kl. 10. kl. Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere
Sandsynlighed & Statistik UVM (130-132) Grundformel Kvartilsæt og boksplot (Q_1,m,Q_3) Kvartilsættet består af nedre kvartil $Q_1$, medianen $m$ og øvre kvartil $Q_3$. Det vises sammen med minimum og maksimum i et boksplot. Eksempel & Beregning For det sorterede datasæt $1,2,3,4,5,6,7$ er:$$Q_1=2,\quad m=4,\quad Q_3=6$$ Typiske faldgruber & misforståelser Sorter data først. Vær konsekvent med den valgte konvention, når halvdelene har et ulige antal observationer. 7.-9. kl. 10. kl. Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere
Sandsynlighed & Statistik UVM (120-121) Grundformel Absolut og relativ afvigelse \Delta y=y_{\mathrm{obs}}-y_{\mathrm{model}},\quad r=\frac{y_{\mathrm{obs}}-y_{\mathrm{model}}}{y_{\mathrm{model}}} Den absolutte afvigelse (residualet) er observeret værdi minus modelværdi og kan være negativ. Den relative afvigelse sammenligner med modelværdien. Eksempel & Beregning $$y_{\mathrm{obs}}=12,\ y_{\mathrm{model}}=10\Rightarrow\Delta y=2,\ r=0{,}2=20\%$$ Typiske faldgruber & misforståelser Absolut afvigelse betyder her en forskel med fortegn, ikke en numerisk værdi. Relativ afvigelse kræver $y_{\mathrm{model}}\ne0$. Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere
Sandsynlighed & Statistik UVM (115) Grundformel Lineær regression \hat y=ax+b Lineær regression tilpasser en ret linje til datapunkter ved mindste kvadraters metode. $\hat y$ er modellens forventede værdi. Eksempel & Beregning En regression giver $\hat y=2{,}5x+1{,}2$. Ved $x=4$ forudsiger modellen:$$\hat y=2{,}5\cdot4+1{,}2=11{,}2$$ Typiske faldgruber & misforståelser En regressionslinje beskriver en tendens og behøver ikke gå gennem datapunkterne. Ekstrapolation skal vurderes kritisk. Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere
Sandsynlighed & Statistik UVM (164, 171-173) Grundformel Normalfordeling & 68-95-99,7 % reglen X \sim N(\mu,\sigma), \quad P(\mu-\sigma \leq X \leq \mu+\sigma) \approx 68\%, \quad P(\mu-2\sigma \leq X \leq \mu+2\sigma) \approx 95\%, \quad P(\mu-3\sigma \leq X \leq \mu+3\sigma) \approx 99{,}7\% Normalfordelingen (Gauss-fordelingen) er en symmetrisk, klokkeformet kontinuert sandsynlighedsfordeling bestemt af middelværdien $\mu$ og spredningen $\sigma$. Den standardnormalfordelte variabel $Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0, 1)$. Eksempel & Beregning I en model antages højden af voksne mænd at være normalfordelt med $\mu = 180\text{ cm}$ og $\sigma = 7\text{ cm}$. Cirka $95{,}45\%$ af mændene har en højde i intervallet:$$[180 - 2 \cdot 7 \, ; \, 180 + 2 \cdot 7] = [166\text{ cm} \, ; \, 194\text{ cm}]$$ Typiske faldgruber & misforståelser En tæthed er ikke en sandsynlighed; sandsynligheder er arealer under tæthedskurven. Intervallet $\mu\pm2\sigma$ beskriver cirka 95 % af observationerne, ikke et konfidensinterval for middelværdien. Her betegner $\sigma$ spredningen. Gym A Lærerudd. Læs mere
Sandsynlighed & Statistik Grundformel Forklaringsgrad R^2=1-\frac{\sum(y_i-\hat y_i)^2}{\sum(y_i-\bar y)^2} Ved lineær regression med konstantled beskriver $R^2$, hvor stor en del af variationen omkring gennemsnittet modellen forklarer. Eksempel & Beregning $$\sum(y_i-\hat y_i)^2=8,\quad\sum(y_i-\bar y)^2=40\Rightarrow R^2=0{,}8$$ Typiske faldgruber & misforståelser Residualets fortegn afhænger af rækkefølgen observeret minus forventet. Et højt $R^2$ beviser ikke, at modellen er årsagssammenhængende. Formlen kræver variation i de observerede $y$-værdier. Fortolkningen som forklaret andel gælder ikke automatisk for enhver model. Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere
Sandsynlighed & Statistik UVM (153-154) Grundformel Sandsynlighed ved lige store chancer P(A)=\frac{\text{antal gunstige udfald}}{\text{antal mulige udfald}} Formlen gælder, når alle udfald er lige sandsynlige. Hændelsen $A$ består af de gunstige udfald. Eksempel & Beregning En fair terning har tre lige tal blandt seks mulige: $$P(\text{lige})=3/6=0{,}5=50\%$$ Typiske faldgruber & misforståelser Antal gunstige/mulige må kun bruges direkte, når de enkelte udfald har samme sandsynlighed. 4.-6. kl. 7.-9. kl. 10. kl. Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere
Sandsynlighed & Statistik Grundformel Eksperimentel sandsynlighed \widehat P(A)=\frac{h(A)}n $h(A)$ er antallet af gange hændelsen ses i $n>0$ forsøg. Frekvensen er et skøn over sandsynligheden. Eksempel & Beregning En hændelse ses 23 gange i 100 forsøg: $$\widehat P(A)=23/100=0{,}23$$ Typiske faldgruber & misforståelser Et skøn fra forsøg er ikke en eksakt sandsynlighed. Flere forsøg mindsker normalt de tilfældige udsving. 4.-6. kl. 7.-9. kl. 10. kl. Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere
Sandsynlighed & Statistik Grundformel Komplementær hændelse P(\overline A)=1-P(A) Komplementet til $A$ er hændelsen, at $A$ ikke sker. Tilsammen dækker de alle udfald. Eksempel & Beregning $$P(A)=0{,}35\Rightarrow P(\overline A)=0{,}65$$ Typiske faldgruber & misforståelser Sandsynligheder skrives enten som decimaltal med sum 1 eller som procenter med sum 100 %. 7.-9. kl. 10. kl. Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere
Sandsynlighed & Statistik Grundformel Hyppighed og frekvens f_i=\frac{h_i}{n},\quad n=\sum h_i Hyppigheden $h_i$ er antallet af forekomster. Frekvensen $f_i$ er deres andel af alle observationer. Eksempel & Beregning 6 af 24 elever vælger cykel: $$f=6/24=0{,}25=25\%$$ Typiske faldgruber & misforståelser Hyppighed er et antal; frekvens er en andel. Summerede frekvenser giver kun mening for ordnede værdier eller intervaller. Formelomskrivninger & Isolering Summeret frekvens F_i=f_1+\cdots+f_i Andelen til og med den pågældende værdi eller øvre intervalgrænse. 4.-6. kl. 7.-9. kl. 10. kl. Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere
Sandsynlighed & Statistik Grundformel Typetal \text{typetal}=\text{den eller de hyppigste værdier} Typetallet findes ved at sammenligne observationernes hyppigheder. Eksempel & Beregning I datasættet $1,2,2,3,4$ er typetallet $2$, fordi det forekommer to gange. Typiske faldgruber & misforståelser Der kan være flere typetal. Typetal, median og gennemsnit beskriver forskellige ting. 4.-6. kl. 7.-9. kl. 10. kl. Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere
Sandsynlighed & Statistik UVM (128) Grundformel Variationsbredde VB=x_{\max}-x_{\min} Variationsbredden er forskellen mellem den største og mindste observation. Eksempel & Beregning For $2,4,4,10$ fås $$VB=10-2=8$$ Typiske faldgruber & misforståelser Variationsbredde bruger yderpunkterne. Kvartilbredde bruger derimod nedre og øvre kvartil. 4.-6. kl. 7.-9. kl. 10. kl. Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere
Sandsynlighed & Statistik Grundformel Vinkel i et cirkeldiagram v=360^\circ f Frekvensen $f$ angives som decimaltal. Hele cirklen svarer til frekvensen 1. Eksempel & Beregning $$f=0{,}30\Rightarrow v=360^\circ\cdot0{,}30=108^\circ$$ Typiske faldgruber & misforståelser Brug $0{,}30$, ikke $30$, for 30 %. Alle sektorvinkler skal tilsammen give 360°. 4.-6. kl. 7.-9. kl. 10. kl. Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere
Sandsynlighed & Statistik Grundformel Middelværdi af grupperede data \bar x\approx\sum f_i m_i,\quad m_i=\frac{a_i+b_i}{2} $m_i$ er intervalmidtpunktet i intervallet med grænser $a_i,b_i$, og $f_i$ er intervalfrekvensen. Eksempel & Beregning Intervaller med midtpunkter 5 og 15 har frekvenser 0,4 og 0,6: $$\bar x\approx0{,}4\cdot5+0{,}6\cdot15=11$$ Typiske faldgruber & misforståelser Det er et skøn, fordi de enkelte værdier inde i intervallerne ikke kendes. 7.-9. kl. 10. kl. Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere
Sandsynlighed & Statistik UVM (135-136) Grundformel Histogram \text{søjlehøjde}=\frac{\text{intervalfrekvens}}{\text{intervalbredde}} Søjlernes arealer viser intervalfrekvenserne. Ved lige brede intervaller kan man vælge en skala, hvor højderne viser frekvenserne direkte. Eksempel & Beregning Et interval med bredde 5 og frekvens 0,20 får højden $0{,}20/5=0{,}04$. Arealet er $5\cdot0{,}04=0{,}20$. Typiske faldgruber & misforståelser Ved forskellige intervalbredder må søjlehøjderne ikke blot sættes lig frekvenserne. 7.-9. kl. 10. kl. Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere
Sandsynlighed & Statistik UVM (137-139) Grundformel Sumkurve og fraktiler F(x_p)=\frac p{100} En sumkurve viser summeret frekvens ved de øvre intervalgrænser. $p$ %-fraktilen aflæses ved frekvensen $p/100$. Kvartilerne svarer til 25 %, 50 % og 75 %. Ved lige linjestykker antages jævn fordeling i hvert interval. Eksempel & Beregning En sumkurve går gennem $(10;0{,}20)$ og $(20;0{,}60)$. Ved lineær interpolation er medianen $10+\frac{0{,}50-0{,}20}{0{,}60-0{,}20}\cdot10=17{,}5$. Typiske faldgruber & misforståelser Aflæs på den summerede frekvensakse. Fraktiler fra grupperede data er skøn og kan afvige fra fraktilerne i rådata. 7.-9. kl. 10. kl. Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere
Sandsynlighed & Statistik UVM (140-141) Grundformel Kombinatorikkens tælleprincipper \text{enten-eller}:m+n,\qquad\text{både-og}:m\cdot n Læg antal sammen ved valg mellem to adskilte muligheder. Gang antal ved valg i to trin, hvis hvert valg i første trin kan kombineres med alle valg i andet. Eksempel & Beregning 3 trøjer og 2 bukser giver $3\cdot2=6$ sæt. Typiske faldgruber & misforståelser Overlappende muligheder må ikke tælles dobbelt. Antallet af valg i andet trin skal gælde for hvert valg i første trin. Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere
Sandsynlighed & Statistik UVM (151) Grundformel Disjunkte hændelser P(A\cup B)=P(A)+P(B) Hændelser er disjunkte, når de ikke kan ske samtidig. Eksempel & Beregning På en fair terning er hændelserne 1 og 6 disjunkte: $$P(1\text{ eller }6)=1/6+1/6=1/3$$ Typiske faldgruber & misforståelser Reglen uden korrektion gælder kun uden fælles udfald. Disjunkt er ikke det samme som uafhængig. Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere
Sandsynlighed & Statistik UVM (152) Grundformel Uafhængige hændelser P(A\cap B)=P(A)P(B) Hændelser er uafhængige, når viden om den ene ikke ændrer sandsynligheden for den anden. Eksempel & Beregning To uafhængige kast med en fair mønt: $$P(\text{to plat})=\tfrac12\cdot\tfrac12=\tfrac14$$ Typiske faldgruber & misforståelser Udtræk uden tilbagelægning er normalt afhængige. Gangereglen i denne form kræver uafhængighed. Gym C Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere
Sandsynlighed & Statistik UVM (155-156) Grundformel Middelværdi af en stokastisk variabel \mu=E(X)=\sum x_i p_i $X$ antager værdierne $x_i$ med sandsynligheder $p_i$, som summerer til 1. Middelværdien er det forventede gennemsnit over mange gentagelser. Eksempel & Beregning $$P(X=0)=0{,}75,\ P(X=4)=0{,}25\Rightarrow E(X)=1$$ Typiske faldgruber & misforståelser Middelværdien behøver ikke være en mulig enkeltværdi. Brug sandsynligheder som vægte. Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere
Sandsynlighed & Statistik UVM (157-158) Grundformel Varians af en stokastisk variabel \operatorname{Var}(X)=\sum(x_i-\mu)^2p_i,\quad\sigma=\sqrt{\operatorname{Var}(X)} Variansen er den forventede kvadrerede afstand til middelværdien. Spredningen har samme enhed som $X$. Eksempel & Beregning For $P(X=0)=0{,}75$ og $P(X=4)=0{,}25$ er $\mu=1$:$$\operatorname{Var}(X)=1\cdot0{,}75+9\cdot0{,}25=3,\quad\sigma=\sqrt3$$ Typiske faldgruber & misforståelser Vægt hvert bidrag med sandsynligheden. Dette er ikke stikprøveformlen med nævner $n-1$. Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere
Sandsynlighed & Statistik UVM s. 39 Grundformel Tosidet binomialtest H_0:p=p_0,\quad X\sim b(n,p_0) Ved signifikansniveau 5 % er et observeret antal $k$ kritisk, hvis $P(X\le k)\le0{,}025$ eller $P(X\ge k)\le0{,}025$. Nulhypotesen forkastes i det kritiske område; ellers forkastes den ikke. Eksempel & Beregning For $n=10$ og $p_0=0{,}5$ er $P(X\le1)=11/1024\approx1{,}07\%$, mens $P(X\le2)\approx5{,}47\%$. Kritisk område er derfor $\{0,1,9,10\}$. Typiske faldgruber & misforståelser Brug halernes sandsynligheder, ikke kun $P(X=k)$. At en hypotese ikke forkastes, er ikke et bevis for den. Forsøgene skal være uafhængige med samme succes-sandsynlighed under $H_0$. Gym B Gym A Lærerudd. Læs mere
Sandsynlighed & Statistik Grundformel Geometrisk fordeling P(X = k) = (1-p)^{k-1} \cdot p \quad , \quad P(X > k) = (1-p)^{k} \quad , \quad \mu = \frac{1}{p} \quad , \quad \sigma = \frac{\sqrt{1-p}}{p} Beskriver sandsynligheden for, at den første succes indtræffer i forsøg nummer $k$, når uafhængige forsøg gentages med samme succes-sandsynlighed $p$. Der skal gå $k-1$ mislykkede forsøg forud, og derefter komme en succes. $\mu = \frac{1}{p}$ er det forventede antal forsøg, og $P(X > k)$ er sandsynligheden for slet ingen succes i de første $k$ forsøg. Eksempel & Beregning En terning kastes, indtil der kommer en sekser ($p = \frac{1}{6}$). Hvad er sandsynligheden for, at den første sekser først kommer i $4$. kast ($k = 4$)?$$P(X = 4) = \left(\frac{5}{6}\right)^{3} \cdot \frac{1}{6} = \frac{125}{1296} \approx 0{,}0965 = 9{,}65\%$$I gennemsnit kræves $\mu = \frac{1}{1/6} = 6$ kast. Typiske faldgruber & misforståelser Der findes to udgaver af fordelingen. Tæller $X$ antallet af forsøg til og med den første succes, er $k = 1, 2, 3, \ldots$ og $\mu = \frac{1}{p}$. Tæller $X$ derimod antallet af mislykkede forsøg før den første succes, er $k = 0, 1, 2, \ldots$ og $\mu = \frac{1-p}{p}$. Fordelingen er hukommelsesløs: en lang række mislykkede forsøg ændrer ikke sandsynligheden for succes i det næste forsøg. Gym A Lærerudd. Læs mere
Talsystemer & Talteori Grundformel Primfaktoropløsning n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k} Et positivt heltal større end $1$ kan skrives entydigt som et produkt af primtal, når rækkefølgen ses bort fra. Eksempel & Beregning $$360=36\cdot10=(2^2\cdot3^2)(2\cdot5)=2^3\cdot3^2\cdot5$$ Typiske faldgruber & misforståelser $1$ er ikke et primtal. Opløsningen skal fortsætte, indtil alle faktorer er primtal. Træn denne formel (2 opgaver) 4.-6. kl. 7.-9. kl. Lærerudd. Læs mere
Talsystemer & Talteori Grundformel Største fælles divisor og mindste fælles multiplum \operatorname{sfd}(a,b)\operatorname{mfm}(a,b)=ab $\operatorname{sfd}(a,b)$ er den største fælles divisor, og $\operatorname{mfm}(a,b)$ er det mindste positive fælles multiplum. Eksempel & Beregning For $a=12$ og $b=18$ er $\operatorname{sfd}=6$:$$\operatorname{mfm}(12,18)=\frac{12\cdot18}{6}=36$$ Typiske faldgruber & misforståelser Relationen bruges her for positive heltal. SFD og MFM må ikke forveksles. Træn denne formel (4 opgaver) 7.-9. kl. 10. kl. Lærerudd. Læs mere
Talsystemer & Talteori Talsystemer & Baser (c_k c_{k-1} \dots c_1 c_0)_b = c_k \cdot b^k + c_{k-1} \cdot b^{k-1} + \dots + c_1 \cdot b^1 + c_0 \cdot b^0 Supplerende stof om talsystemer. I et positionssystem med grundtal (base) $b$ repræsenterer cifrenes positioner potenser af $b$. Vores titalssystem bruger base $10$. Det binære talsystem bruger base $2$, oktal bruger base $8$, og heksadecimalt bruger base $16$. Eksempel & Beregning Omregn tallet $10110_2$ til titalssystemet:$$10110_2 = 1 \cdot 2^4 + 0 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 0 \cdot 2^0 = 16 + 0 + 4 + 2 + 0 = 22_{10}$$ Træn denne formel (4 opgaver) 7.-9. kl. Gym A Lærerudd. Læs mere