Binomialfordeling
Forklaring:
Denne type fordeling inden for sandsynlighedsregning beskriver, hvad sandsynligheden er for at få et antal succeser blandt et bestemt antal
uafhængige og
identiske eksperimenter.
Fordelingen kaldes bi, hvilket er latin og betyder 2. Hvert eksperiment er nemlig kun enten
succes eller
fiasko.
(Læs mere ...)
Der er kun 2 mulige udfald, og det er samme sandsynlighed ved hvert eksperiment. Eksperimenterne beskrives derfor som uordnede og med tilbagelægning. Vi interesserer os sagt på en anden måde ikke for rækkefølgen for, hvordan eksperimenterne kommer, men kun for, hvor mange succeser. Og hver gang vi laver et forsøg, så er der igen samme sandsynlighed. Vi fjerner ingen terninger, ingen kugler, ingen mønter. Det er med tilbagelægning.
Eksempler:
Binomialfordelinger er i skolen typisk situationer med møntkast (plat eller krone), terningekast (seksere eller ikke seksere), trækninger (en rød kugle eller ikke rød kugle), tipskuponer osv.
Hovedsagen er, at der kun må være 2 muligheder, og at man interesserer sig for, hvad sandsynligheden er for at få succes eller fiasko er.
Spørgsmål kunne fx være,
hvad sandsynligheden er for at slå 3 seksere ved kast med 4 terninger.
hvad sandsynligheden er for at slå 3 seksere ved 4 kast med en terning. (Rækkefølgen skal være underordnet, når man spørger. Dette kaldes uordnet.)
hvad sandsynligheden er for at trække 4 røde kugler ved 6 trækninger. Der kan sagtens være røde, blå, hvide og sorte kugle, som kan trækkes, men man interesserer sig kun for rød eller ikke rød.
hvad sandsynligheden er for at slå krone 3 gange ved 5 kast.
Formlen for binomialfordeling kan anvendes til at beregne, hvad sandsynligheden er. Altså hvad den kombinatoriske sandsynlighed er.
Formlen skal læses som Antal mulige kombinationer ⋅ P(Succes) ⋅ P(Ikke-succes)
P(X = r) = K(n,r) ⋅ pr ⋅ (1-p)n-r
Det kan være en idé at bruge et
chancetræ til at forstå, hvor mange kombinationer der er, som hver har sandsynligheden p
r for succes ganget med sandsynligheden for ikke succes (1-p)
n-r.
Læg mærke til, at sandsynligheden for fx netop 2 seksere ved 3 kast med en terning, for hver kombination er 1/6 x 1/6 x 5/6. Vi er ikke interesserede i rækkefølgen for, hvornår sekseren indtræffer. Så 1/6 x 1/6 x 5/6, 1/6 x 5/6 x 1/6 og 5/6 x 1/6 x 1/6 er de 3 kombinationer, som har 2 succeser (2 seksere).
Kombinationerne kan findes vha. K(n,r), hvilket i eksemplet er K(3,2) = 3. Antallet af kombinationer kan med fordel findes vha.
kombinatorik-værktøjet.
Beregner...